6-3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
A组基础演练·能力提升一、选择题1已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A1 B3C1或3D0解析：由题意可知，平面区域kxy20是含有坐标原点的半平面且直线kxy20过定点(0,2)，又平面区域的面积为4，作出平面区域如图，可得A(2,4)，代入直线方程得k1.答案：A2(2014年山西大同模拟)已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则xy的取值范围是()A2，1 B2,1C1,2 D1,2解析：题中的不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线xy0，当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时xy取得最小值，最小值是xy011；当平移到经过该平面区域内的点(2,0)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时xy取得最大值，最大值是xy202.因此xy的取值范围是1,2，选C.答案：C3(2013年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D解析：已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为.答案：C4(2013年高考全国新课标卷)已知a>0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A. B. C1 D2解析：由已知约束条件，作出可行域如图中ABC内部及边界部分，由目标函数z2xy的几何意义为直线l：y2xz在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，2a)时，目标函数z2xy的最小值为1，则22a1，a，故选B.答案：B5.已知点(x，y)在ABC所包围的阴影区域内(包含边界)，若B是使得zaxy取得最大值的最优解，则实数a的取值范围为()新*课标*第*一*网AaBa0CaDa0解析：直线AB的斜率为，直线BC的斜率不存在，要使B是目标函数取得最大值的最优解，则需a，故选A.答案：A6已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan AOB的最大值为()A. B. C. D.新$课$标$第$一$网解析：由题意可知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分根据正切函数的单调性，在AOB为锐角的情况下，当AOB最大时，tan AOB最大结合图形，在点A，B位于图中位置时AOB最大由x3y10，xy30得A(2,1)，由x1，xy30得B(1,2)，所以tan xOA，tan xOB2，则tan AOBtan(xOBxOA).答案：B二、填空题7(2014年桂林模拟)若实数x，y满足，则的取值范围是_解析：由题可知，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k1,5答案：1,58设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，则使函数yax(a>0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是_解析：画出平面区域如图中阴影部分所示，求得A(2,10)，B(1,9)，C(3,8)由图可知，欲满足条件必有a>1且yax的图象必过B，C两点之间的区域当图象过B时，a19，所以a9；当图象过C时，a38，所以a2，故a的取值范围是2,9答案：2,99(2014年合肥模拟)设动点P(x，y)在区域：上(含边界)，过点P任意作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为_解析：如图，区域为MON及其内部，A、B区域，则|AB|的最大值为|OM|4.所以以AB为直径的圆的面积的最大值为·24.答案：4三、解答题10设实数x，y满足不等式组且x2y2的最小值为m，当9m25时，求实数k的取值范围解析：不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2y2的最小值m即为|OA|2，联立，得A.由题知92225，解得2k5.11已知点P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，求点P(2，t)到直线3x4y100距离的最大值解析：由题意可知，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，点P(2，t)是直线x2位于阴影部分的线段AB上的一点，结合图形可知，在点A(2,1)处，点P(2，t)到直线3x4y100的距离最大，这个最大值是dmax4.12(能力提升)设点P(x，y)满足：，求的取值范围w w w .x k b 1.c o m解析：由题意，令t，则t，只要求出t的取值范围，再根据函数f(t)t的性质即可求出其取值范围不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，根据t的几何意义，即t为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即t2.由于函数f(t)t，f(t)1，故f(t)在上单调递减，在1,2上单调递增，即f(t)minf(1)2，f(t)maxmax，故2f(t)，所以2.B组因材施教·备选练习1某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克，生产乙产品每件需用A原料3千克、B原料2千克A原料每日供应量限额为60千克，B原料每日供应量限额为80千克要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为()A500元 B700元C400元 D650元解析：设每日生产甲、乙两种产品分别为x、y件，则x、y满足来源:学。科。网Z。X。X。K每日获得的利润z30x20y.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点)，根据目标函数的几何意义，z在直线2x3y60和4x2y80的交点B处取得最大值，由，解得B(15,10)，代入目标函数得zmax30×1520×10650.答案：D2已知平面区域D由以点A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部以及边界组成若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数zxmy取得最小值，则实数m的值为()A2 B1 来源:Z*xx*k.ComC1 D4解析：依题意，作出符合条件的可行域如图中阴影部分所示将目标函数变形，可得yx.当m>0时，直线过点C时，z取得最小值，欲使最优解有无数个，则需kAC1.m1.当m<0时，直线过点A时，z取得最小值，但仅在A点时取得最小值，不满足题意m1.故选C.答案：C3(2014年西安模拟)设点A(1，1)，B(0,1)，若直线axby1与线段AB(包括端点)有公共点，则a2b2的最小值为()A. B.C. D1解析：由题意知，线段AB的方程为2xy1(0x1)，直线axby1与线段AB有公共点，有方程组，(a2b)x1b(0x1)有解，或01，即，或，其表示的平面区域如阴影部分所示而a2b2即为阴影部分的点到原点的距离的平方，容易得到，当a，b时，a2b2取最小值.答案：C新课标第一网系列资料 www.xkb1.com 8
