2017－2018学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.2 圆的一般方程学案 北师大版必修2

2.2圆的一般方程1.掌握圆的一般方程.(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)基础·初探教材整理圆的一般方程阅读教材P81“练习”以下至P82“例3”以上部分，完成下列问题.1.圆的一般方程的定义：当D2E24F0时，称二元二次方程x2y2DxEyF0为圆的一般方程.2.方程x2y2DxEyF0表示的图形：方程条件方程的解的情况图形x2y2DxEyF0D2E24F<0没有实数解不表示任何图形D2E24F0只有一个实数解表示一个点D2E24F>0无数个解表示以为圆心，以为半径的圆将圆的一般方程x2y22x4y40化为标准方程为_.【解析】x2y22x4y40可化为(x1)2(y2)29.【答案】(x1)2(y2)232小组合作型二元二次方程与圆的关系判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由.【精彩点拨】解答本题可直接利用D2E24F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.【自主解答】法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点；当m2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2E24F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.再练一题1.如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是_.【解析】由题意可知(2)2124k>0，即k<.【答案】求圆的一般方程 求圆心在直线yx上，且经过点A(1,1)，B(3，1)的圆的一般方程.【精彩点拨】【自主解答】设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心是，由题意知，解得DE4，F2，即所求圆的一般方程是x2y24x4y20.【答案】x2y24x4y20用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.再练一题2.已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求ABC外接圆的方程.【解】设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：即解此方程组，可得D8，E6，F0，ABC外接圆的方程为x2y28x6y0.探究共研型与圆有关的轨迹问题探究1已知O的方程为x2y225，动弦AB的长为8，请求出弦AB的中点P的轨迹方程.【提示】|OP|3，点P的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，点P的轨迹方程为x2y29.探究2已知RtABC的两个顶点A(1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.【提示】法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kAC·kBC1，所以·1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1).法二：取线段AB中点D，则|CD|AB|2，又D(1,0)，所以点C的轨迹方程为(x1)2y24.(x3，且x1).已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【导学号：39292103】【精彩点拨】点M随点A运动而运动，将A点坐标用B，M两点坐标表示，再将A点坐标代入圆的方程，即得M点的轨迹方程.【自主解答】设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(4,3)且点M是线段AB的中点，所以x，y，于是有x02x4，y02y3.因为点A在圆(x1)2y24上运动，所以点A的坐标满足方程(x1)2y24，即(x01)2y4，把代入，得(2x41)2(2y3)24，整理，得x2y23x3y0.所以点M的轨迹方程是x2y23x3y0.用代入法求轨迹方程的一般步骤：再练一题3.过原点O作圆x2y28x0的弦OA，求弦OA中点M的轨迹方程.【解】设M(x，y)，A(x0，y0)，依题意得x，y，所以x02x，y02y.又A在圆x2y28x0上，所以4x24y216x0，即x2y24x0.故弦OA中点M的轨迹方程为x2y24x0.1.圆x2y22x4y0的圆心坐标为()A.(1,2)B.(1，2)C.(1,2)D.(1，2)【解析】将圆的方程化为标准方程(x1)2(y2)25，可知其圆心坐标是(1，2).【答案】B2.方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()A.m2B.m<C.m<2D.m【解析】由r>0，得(1)2124m>0，即m<.【答案】B3.圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.【解析】圆心(1,2)到直线3x4y40的距离为3.【答案】34.圆x2y22x4y110关于点P(2,1)对称的圆的方程是_. 【导学号：39292104】【解析】由x2y22x4y110得(x1)2(y2)216.圆心(1,2)关于P(2,1)的对称点为(5,0)，所求圆的方程为(x5)2y216，化为一般式为x2y210x90.【答案】x2y210x905.已知圆x2y24上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求PQ中点的轨迹方程.【解】(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y).P点在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故PQ中点N的轨迹方程为x2y2xy10.在校园的时候曾经梦想去桂林，到那山水甲天下的阳朔仙境，漓江的水呀常在我心里流，去那美丽的地方是我一生的期望，有位老爷爷他退休有钱有时间，他给我描绘了那幅美妙画卷，刘三姐的歌声和动人的传说，亲临其境是老爷爷一生的心愿，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有时间的时候我却没有钱，我想去桂林呀，我想去桂林，可是有了钱的时候我却没时间5