2017－2018学年高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式名师讲义 新人教b版必修5

3.1不等关系与不等式预习课本P6166，思考并完成以下问题 (1)不等式如何定义？ (2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？ (3)不等式的性质有哪几条？ 1不等式的概念用数学符号“”、“>”、“<”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式点睛不等式“ab”的含义是“ab或ab”，它等价于“a不小于b”，在ab和ab中只要有一个成立，ab就成立2实数大小的比较(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：点A，B的位置关系点A和点B重合点A在点B右侧点A在点B左侧实数a，b的大小关系ababab(2)比较两个实数的大小方法作差法依据ab0ab；ab0ab；ab0ab结论对于任意两个实数a和b，在ab，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立3不等式的性质(1)对称性：abab.(2)传递性：ab，bcac.(3)加法法则：abacbc.推论1abcacb；推论2ab，cdacbd.(4)乘法法则：ab，c0acbc；ab，c0acbc.推论1ab0，cd0acbd；推论2ab0anbn(nN，n1)；推论3ab0(nN，n1)点睛(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)不等式x2的含义是指x不小于2()(2)若a<b或ab之中有一个正确，则ab正确()(3)若a>b，则ac>bc一定成立()(4)若ac>bd，则a>b，c>d()解析：(1)正确不等式x2表示x>2或x2，即x不小于2，故此说法是正确的(2)正确不等式ab表示a<b或ab.故若a<b或ab中有一个正确，则ab一定正确(3)错误由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的(4)错误取a4，c5，b6，d2，满足ac>bd，但不满足a>b，故此说法错误答案：(1)(2)(3)×(4)×2已知ab>0，b<0，那么a，b，a，b的大小关系是()Aa>b>b>a Ba>b>a>bCa>b>b>a Da>b>a>b解析：选C法一：A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，可用特殊值法令a2，b1，则有2>(1)>1>2，即a>b>b>a.法二：ab>0，b<0，a>b>0，a<b<0，a>b>0>b>a，即a>b>b>a.3设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是()Aa2<b2 Bab2<a2bC.< D.<解析：选C因为a<b，故ba>0，所以>0，故>.4当m>1时，m3与m2m1的大小关系为_解析：m3(m2m1)m3m2m1m2(m1)(m1)(m1)(m21)又m>1，故(m1)(m21)>0.答案：m3>m2m1数式的大小比较典例(1)已知x<1，比较x31与2x22x的大小；(2)已知a>0，试比较a与的大小解(1)(x31)(2x22x)(x1)(x2x1)2x(x1)(x1)(x2x1)(x1).x<1，x1<0.又2>0，(x1)<0.x31<2x22x.(2)因为a，因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；当a1时，0，有a；当0<a<1时，<0，有a<.综上，当a>1时，a>；当a1时，a；当0<a<1时，a<.1作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差变形定号结论(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；对数与指数的运算性质；分母或分子有理化；分类讨论2作商法比较大小的步骤及适用范围(1)作商法比较大小的三个步骤作商变形；与1比较大小；得出结论(2)作商法比较大小的适用范围要比较的两个数同号；比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法活学活用1比较x61与x4x2的大小，其中xR.解：(x61)(x4x2)x6x4x21x4(x21)(x21)(x21)(x41)(x21)(x21)(x21)(x21)2(x21)故当x±1时，x61x4x2；当x±1时，x61x4x2.2若m>2，比较mm与2m的大小解：因为m，又因为m>2，所以>1，所以m>01，所以mm>2m.不等式的性质典例(1)已知b<2a,3d<c，则下列不等式一定成立的是()A2ac>b3d B2ac>3bdC2ac>b3d D2a3d>bc(2)下列说法不正确的是()A若aR，则(a22a1)3>(a2)3B若aR，则(a1)4>(a2)4C若0<a<b，则a>bD若0<a<b，则a3<b3解析(1)由于b<2a,3d<c，则由不等式的性质得b3d<2ac，故选C.(2)对于A，因为(a22a1)(a2)a2a12>0，所以a22a1>a2，则(a22a1)3>(a2)3，故A选项说法正确；对于B，当a1时，(a1)40，(a2)41，所以(a1)4>(a2)4不成立；对于C和D，因为0<a<b，所以由指数函数与幂函数的性质知C、D选项说法正确，故选B.答案(1)C(2)B1利用不等式判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性2利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则活学活用1已知a>b>c，且abc0，则下列不等式恒成立的是()Aab>bc Bac>bcCab>ac Da|b|>|b|c解析：选C因为a>b>c，且abc0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.2若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.证明：c<d<0，c>d>0.又a>b>0，ac>bd>0，则(ac)2>(bd)2>0，即<.又e<0，>.用不等式性质求解取值范围典例已知1a4,2b8，试求2a3b与ab的取值范围解1a4,2b8，22a8,63b24.82a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范围是(8,32)，ab的取值范围是(7,2)同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.1在本例条件下，求的取值范围解：2b8，而1a4，1×a·4×，即2.故的取值范围是.不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负2已知6a8,2b3，求的取值范围解：6a8,2b3.，当0a8时，04；当6a0时，30.由得：34.故的取值范围为(3,4)利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数3已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范围解：设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1.故a3b的取值范围为.层级一学业水平达标1李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A30x60400 B30x60400C30x60400 D30x40400解析：选Bx月后他至少有400元，可表示成30x60400.2若abcd0，且a0，bc，d0，则()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0 D0cb或cb0解析：选D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.3已知：a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若ab，cb，