信号及线性系统题解第四章
第4章 习题答案收集自网络4.1 由于复指数函数是LTI系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。在正文已经指出：尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。(a) 对单位冲激响应的LTI系统，指出其特征函数，并确定相应的特征值。(b) 如果一个LTI系统的单位冲激响应为，找出一个信号，该信号不具有的形式，但却是该系统的特征函数，且特征值为1。再找出另外两个特征函数，它们的特征值分别为1/2和2，但不是复指数函数。 提示：可以找出满足这些要求的冲激串。(c) 如果一个稳定的LTI系统的冲激响应是实、偶函数，证明和实该系统的特征函数。(d) 对冲激响应为的LTI系统，假如是它的特征函数，其特征值为，确定应满足的微分方程，并解出。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解：(a) 的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为1。 (b) ，。如果是系统的特征函数，且特征值为1，则应有。满足这一要求的冲激序列为。 若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得： ， 特征值为1/2。 ， 特征值为2。 (c) 为实、偶函数 同理可证。 (d) 于是 4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。(a) (b) 是以2为周期的信号，且(c) 如图P4.2(a)所示。 (d) 如图P4.2(b)所示。(e) 如图P4.2(c)所示。 (f) 如图P4.2(d)所示。 图P4.2解：(a) ，取，则有 (b) , 则 (c) ，是奇函数， (d) ，可求得 (e) ，是偶函数， (f) ，可求得 4.3 已知某LTI系统的单位冲激响应为 对下列输入信号，求输出响应的傅里叶级数表示式。(a)(b)(c)(d) 如图P4.3所示。 图P4.3解：设则其中分别是和的傅里叶级数系数。 (a) 其余 ，其余 (b) ； (c) ; (d) 由图P4.3所示可得： 4.4 (a) 证明:以T为周期的信号如果是偶函数,即,则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果是奇信号，即，则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。(b) 如果以T为周期的信号同时满足 则称为偶谐信号；如果同时满足 则称为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含偶次谐波；奇谐信号的傅里叶级数只包含奇次谐波。 (c) 如果是周期为2 的奇谐信号，且，画出的波形，并求出它的傅里叶级数系数。解： (a) ， 若，则 若，则 (b) 若，则 当k为偶数时， 当k为奇数时， 只有偶次谐波 同理可证奇谐信号只包含奇次谐波。 (c) 奇谐信号， 如图PS4.4所示。 图PS4.4 ，（k为奇数） ， （k为偶数）4.5 假如图P4.5所示的信号和有如下三角函数形式的傅里叶级数表示式 画出信号 图P4.5解： 而 4.6 设是一个周期信号，其基波周期为，傅里叶级数的系数为，用表示下列信号的傅里叶级数系数。此题证明了表4.2中所列的傅里叶级数的有关性质。(a) (b) (c) (d) ,（假设）(e) (f) （要先确定该信号的周期）解： (a) (b) (c) (d) 为周期信号 (e) 因此以T为周期 (f) 该信号周期为4.7 已知某周期信号的前四分之一周期的波形如图P4.7所示。就下列情况画出一个周期（）内完整的波形。 图P4.7 (a) 是偶函数，只含有偶次谐波。 (b) 是偶函数，只含有奇次谐波。 (c) 是偶函数，含有奇次和偶次谐波。 (d) 是奇函数，只含有偶次谐波。 (e) 是奇函数，只含有奇次谐波。 (f) 是奇函数，含有偶次和奇次谐波。解：(a) 且，如图PS4.7(a)所示。 (b) 且，如图PS4.7(b)所示。 (c) ，如图PS4.7(c)所示。 (d) 且，如图PS4.7(d)所示。 (e) 且，如图PS4.7(e)所示。 (f) ，如图PS4.7(f)所示。 图PS4.74.8 计算下列信号的傅里叶变换： (a) (b) ，其中 (c) 如图P4.8(a)所示。 (d) 如图P4.8(b)所示。 (e) (f) 如图P4.8(c)所示。 (g) 如图P4.8(d)所示。 图P4.8解：(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 4.9 确定下列傅里叶变换所对应的连续时间信号： (a) (b) (c) (d) 如图P4.9(a)所示。 (e) 如图P4.9(b)所示。 (f) 的模和相位如图P4.9(c)(d)所示。 图P4.9解： (a) 设 即 (b) 故有 (c) 即 (d) (e) (f) 由图P4.9(c)、(d)知， 4.10 先求出图P4.10所示各信号的频谱，再用表示图中信号的频谱。 图P4.10解： 4.11 设是图P4.11所示信号的频谱，不求出而完成下列计算：(a) 求(b) 求(c) 计算(d) 计算(e) 画出Re对应的信号。 图P4.11解： (a) (b) (c) (d) (e) ，如图PS4.11所示。 图PS4.114.12 一个实连续时间信号的傅里叶变换为且，如果已知 是(a) 偶时间函数；(b) 奇时间函数。求。解： (a) 即 (b) 4.13 如果图P4.13所示的实信号存在傅里叶变换，试判断哪些信号的傅里叶变换满足下列性质之一。 (a) Re (b) Im (c) 可以找到一个实数，使得是实函数。 (d) (e) (f) 是周期的。 图P4.13解： (a) Re 为奇函数 因而图P4.13(a),(b)满足条件。 (b) Im 为偶函数 因而图P4.13(d),(f)满足条件。 (c) 由已知可得，平移后为偶函数 因而图P4.13(a),(c),(d),(f)满足条件。 (d) 因而图P4.13(a),(b),(c),(e),(f)满足条件。 (e) 因而图P4.13 (c),(d),(e),(f)满足条件。(f) 由条件可知(c)满足。4.14 求图P4.14所示周期信号的傅里叶变换。 图P4.14解： 4.15 假设周期信号是某个LTI系统的输入，的傅里叶级数表示式为系统的频率响应为 为了该系统的输出至少具有在一个周期内平均能量的90，必须取多大？解： 根据帕斯瓦尔定理，可得信号的平均能量为： 设的取值使系统能通过的第次谐波，则系统输出的平均能量为由题意应有 即： 即： 能保证输出至少具有一个周期平均能量的90。本题中，得 4.16 (a) 如果信号满足，那么的傅里叶变换具有什么性质？ (b) 如果一个系统的输入为，输出为，且，试用的傅里叶变换表示的傅里叶变换 (c) 如果和是两个任意信号，其傅里叶变换分别为和，证明帕斯瓦尔定理的一般形式 解： (a) 设，由共轭对称性有 由尺度变换性有 而，表明是实函数。 (b) 设， (c) 4.17 在第3章我们指出LTI系统可以由它的单位冲激响应完全表征。在本章中我们又指出LTI系统可以由它的频率响应完全表征。但这并不意味着单位冲激响应或频率响应不同的LTI系统，对任何同样的输入信号所产生的响应都一定
