高二竞赛讲义数列不等式2

高二数学竞赛班一试讲义第2讲 数列求和与数列不等式班级 姓名 一、知识要点：1公式法：适用于等差、等比数列求和或可转化为等差、等比数列求和的数列2错位相减法：若是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和，常用错位相减法。3分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；4裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。5倒序相加法：类似于等差数列前项和公式的推导方法6并项求和法：把数列的连续若干项并在一起组成一项，再求这些大项的和7数列求和不等式的证明方法：均值不等式法，利用有用结论，部分项放缩，添减项放缩，利用单调性放缩，换元放缩，递推放缩，转化为加强命题放缩，分奇偶项讨论，数学归纳法。二、例题精析例1（1）已知数列的通项公式，求数列的前项的和。（2）已知数列的通项公式，求数列的前项的和。例2数列数列：即正整数有个，自小到大排列而成， 求及例3设，定义，求证：对一切正整数有例4（1）已知，求证：。 （2）已知函数，若，且在0，1上的最小值为， 求证：（02年全国联赛山东预赛题）例5在数列中，已知，求证：（1）； （2）。例6（1）求证 （2）设求证：例7已知数列的前项和满足（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有（04年全国卷）三、精选习题1已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则这两个 数列的第九项之比 2求和： 。3设数列满足，求证：。4（07年高赛一试）设，求证：当正整数时，5设数列满足，当时证明对所有 有 ； （02年全国高考题）6已知（1）用数学归纳法证明；（2）对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题） 7设数列满足，证明：。8设，求证：9在数列中,且成等差数列,成等比数列.（1）求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;（2）证明:.10一个数列的前5项是1,2,3,4,5，从第6项开始，每项比前面所有项的乘积少1，证明：此数列的前70项的乘积恰是它们的平方和。高二数学竞赛班一试讲义第2讲 数列求和与数列不等式例1（1）， （2）， 例2解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有（证明从略）例3解：先对正整数分段，第一段个数，第二段个数，第三段个数，第段有个数，而前段项数和为，前段项数和为，如果，那么，于是，当给定时，由此式解得，注意，于是等于的整数部分，即，也就是，由于数列第段由个组成，其和为，因此数列前段的总和为；由于位于第段的第个数，而这些项全是，因此，；其中例4(1)令，则两式相减， （2）简析 例5（1）（2），所以例6（1）简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例) （2）解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），于是例7 简析 （） ；（）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 （减项放缩），于是 当且为偶数时当且为奇数时（添项放缩）由知由得证。1 提示： 2提示： 首项为，公比为。共项求和，3，两式相减，所以，则4证明：法1：由于，因此于是，对任意的正整数，有，即法2：， 又，所以，当正整数时，5解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。递推放缩的典型例子，可参考上述例10中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例6中所得和、例7中、 例12（）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。如上述例10第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。6解析 结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ，即7证明：先用数学归纳法证明一个更一般的命题：，。当时，命题成立。假设当时，命题成立，即，则当时，有故知对一切，均有，所以8证明：由，得 从而 两式相除，得，所以是公比为的等比数列，则，由此得出。注意到，则，故所以又即9解:（）由条件得由此可得猜测 用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立 （）n2时，由（）知 故综上，原不等式成立 10当时，则，两式相减，即所以， ，累加得，所以，即11数列满足：；、求和的关系； 、若，证明；、若，证明 （中国科大自主招生）11解：、由，相减得，所以，继而有所以，即 、用数学归纳法，若，由得，据此，；若已有，由，因此在时结论也成立，故由数学归纳法，对一切正整数，、由得 ，若，则由得，据归纳易见对一切，有，所以由，因此11