2016年中考数学一轮复习导学练案几何与变换篇第三节：特殊三角形导学练案

第三节：特殊三角形导学练案学习目标：1. 掌握等腰三角形的性质与判定；2.了解线段垂直平分线性质与判定；3. 掌握等边三角形的性质与判定；4. 掌握直角三角形的性质与判定；5.熟练把握特殊三角形的性质与判定并能综合运用。复习反馈：1.等腰三角形定义与性质：（1）定义：如果等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为_；（2）等腰三角形的_相等（简称“等边对等角”）；（3） 等腰三角形的三线合一的性质：如图31，在ABC中，若AD平分BAC交BC于点D，则AD_BC，BD_CD；若D为BC的中点（即BD=CD），则AD_BC，BAD_CAD；若ADBC于D，则BD_CD,BAD=CAD；（3）对称性：等腰三角形的对称轴是_;2.等腰三角形的判定：（1）两边相等的三角形是_；（2）两角相等的三角形是_，简称“_”.3.线段的垂直平分线：（1）概念：垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线；（2）作法及性质：如图32，在直线a上找一点P，使P到点A、点B的距离相等；（3）判定：根据定义；如图33，若CA=CB，DA=DB，则直线CD是线段AB的_；4.等边三角形的性质与判定：（1）性质：等边三角形的三个内角都=_°，三边_,同样具有“三线合一”的性质；（2）判定：三角相等的三角形是_，三边相等三角形是_，有一个内角为_°的腰三角形是_；5.直角三角形的性质：（1）直角三角形两内角_; (2) 在ABC中，若ACB=90°，且A=30°，则BC=_AB；(3) 在RtABC中，若ACB=90°，且D为AB的中点，则DC=_AB=AD=DB；6.直角三角形的判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）两个内角_的三角形是直角三角形；（3）在ABC中，D为AB的中点，若满足DC=_AB,则ABC为Rt；合作探究：考点1 等腰三角形的性质与判定的应用（2015丹东，第6题3分）如图，在ABC中，AB=AC，A=30°，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（） A 15° B 17.5° C 20° D 22.5°考点： 等腰三角形的性质分析： 先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据三角形外角性质得1+2=3+4+A，1=3+D，则21=23+A，利用等式的性质得到D=A，然后把A的度数代入计算即可解答： 解：ABC的平分线与ACE的平分线交于点D，1=2，3=4，ACE=A+ABC，即1+2=3+4+A，21=23+A，1=3+D，D=A=×30°=15°故选A点评： 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析考点2 线段垂直平分线（2015湖北, 第7题3分）如图，在ABC中，B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分ACB若BE=2，则AE的长为（） A B 1 C D 2考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出B=DCE=30°，再由角平分线定义得出ACB=2DCE=60°，ACE=DCE=30°，利用三角形内角和定理求出A=180°BACB=90°，然后在RtCAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1解答： 解：在ABC中，B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，BE=CE=2，B=DCE=30°，CE平分ACB，ACB=2DCE=60°，ACE=DCE=30°，A=180°BACB=90°在RtCAE中，A=90°，ACE=30°，CE=2，AE=CE=1故选B点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出A=90°是解答此题的关键考点3等边三角形的性质与判定的应用（2015青海西宁第20题2分）如图，ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将BEF折叠，使点B于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn=考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质.专题：规律型分析：根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果解答：解：ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，BD=，BEF是边长为等边三角形，BD1=，BD2=，BDn=，故答案为：点评：本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键考点4直角三角形的性质、判定的运用（2013·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A海里/小时 B 30海里/小时 C海里/小时 D海里/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理考点5特殊三角形性质与判定的综合运用（2015营口，第25题14分）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45°，求BD的长（3）如图3，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析： （1）首先根据等式的性质证明EAC=BAD，则根据SAS即可证明EACBAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明EACBAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，证明EACBAD，证明BD=CE，即可求解解答： 解：（1）BD=CE理由是：BAE=CAD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE；（2）如图2，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、ECACD=ADC=45°，AC=AD，CAD=90°，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CEAE=AB=7，BE=7，AEC=AEB=45°，又ABC=45°，ABC+ABE=45°+45°=90°，EC=，BD=CE=（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，连接BEAEAB，BAE=90°，又ABC=45°，E=ABC=45°，AE=AB=7，BE=7，又ACD=ADC=45°，BAE=DAC=90°，BAEBAC=DACBAC，即EAC=BAD在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE，BC=3，BD=CE=73（cm）点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键形成提升：1. （2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A 11 B 16 C 17 D 16或172. (2015年陕西省,6,3分)如图，在ABC中，A=36°，AB=AC，BD是ABC的角平分线若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A2个 B3个 C4个 D5个3. （2015四川遂宁第8题4分）如图，在ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A1cmB2cmC3cmD4cm4. （2015河北,第20题3分）如图，BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=5. (2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm6.（2015曲靖23题10分）如图，过AOB平分线上一点C作CDOB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A 11 B 16 C 17 D 16或17考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系专题： 分类讨论分析： 分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解解答： 解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17故选D点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论2. (2015年陕西省,6,3分)如图，在ABC