牛顿法最优潮流讲义

电力系统潮流计算方法-牛顿法,电力系统分析包括潮流、最优潮流、预想故障分析、电压稳定、暂态稳定和其他分析，电力系统分析是输电系统规划中的关键技术之一。潮流计算是电力系统分析的基础，所谓潮流计算即在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。 手算如何计算？ 一般来说，各个母线所供负荷的功率S是已知的，各个节点V是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成节点导纳矩阵B，然后由B列写功率方程，由于功率方程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代三到五次就能收敛。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,牛顿法是解非线性方程式的一个有效方法，所以也被广泛的应用于潮流计算。核心是修正方程式的建立与求解。如图所示利用泰勒公式展开，取其线性部分代替非线性方程近似求解。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,其近似解与精确解分别相差,上式全部用泰勒展开即可,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,J称函数的雅克比矩阵；x为列向量， f称不平衡量的列向量，把初始值X（0）代入，可得f，J中的元素，然后运用解线性方程的方法，求得 第一次迭代计算出的值 然后把计算值再次代入求得f，J中的元素，直到满足精确度即可。但是，初值一定要选取的足够接近精确值，否则迭代过程可能不收敛。（何以见得）,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,潮流方程的描述 对于N个节点的电力网络若元件参数已知则网络方程表示为,其中Y为n*n阶节点导纳矩阵， U为N*1阶，I*为N*1阶节点注入电流列向量 但是电力网络中给定的往往是S而不是电流，所以线性方程就变成,令 展开得,j=1,2N,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,若 则潮流方程的极坐标形式如下：,上式即为电力系统的潮流方程,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,综上所述，若一个电力系统含有N个节点，选取第N个作平衡节点，剩余n=N-1各节点中有r个节点是PV节点，有n-r个节点是PQ节点，因此出平衡节点外，有n个节点注入有功P，有n-r个节点注入无功Q，有r个节点的电压是已知的。在直角坐标系下，待求未知数共有2n个，,代求变量 潮流方程线性化,给节点i的有功无功给定值 为注入功率和给定电压的不平衡量 上式方程一共2n个方程，2n个代求量，两者个数相等。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,为了清晰的表达潮流方程中的未知量请看下表。平衡节点为第N节点、剩余N-1=n个节点中，含有r个PQ节点，n-r个PV节点。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,电力网络方程的一般形式可以写成,牛顿法求解如下，在给定初始值的条件下，对上式做一阶泰勒展开,用x修正X的初始值得到新值，用k表示迭代次数写成表达式即为,（偏差形式）,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,由于欧拉公式的存在，我们也可以把直角坐标系下的功率方程变形为极坐标系下的功率方程，那么极坐标系的牛顿法是怎样的？,我们注意到：由于r个PV节点1个平衡节点n-r个PQ节点的存在，所以A1应该为n维的，A2为n-r维的，就是说有n个未知的 ，有n-r个未知的V。所以雅克比矩阵为(2n-r)*(2n-r)维。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,上式右侧对电压幅值的偏导数中电压幅值的阶次减少了1，为使雅克比矩阵各部分矩阵具有一样的形式，在实际计算中往往乘以电压幅值，并【V/V】列向量作为修正量。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,当j=i时，所有的V、均为变量， 当ji时，只有特定节点的V、为变量。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,迄今为止还没提到节点分类时约束条件，不等式约束大致分为三类： 注入功率的约束威胁电源机组的安全运行 节点电压的约束影响用户供电电压的质量 对相位角的约束危及电力系统运行稳定性 所以，在迭代时要注意是否满足约束条件，其中，前者具有优先性，那么问题就来了？PV到PQ节点的转化问题。 在迭代时发现，为保持给定的V，某一个PV节点的无功功率已经越限，为保证源设备正常运行，不得以将其固定在边界上，令其Q等于Qmin或者Qmax为一定值。任凭电压偏移给定值V，实现PV节点到PQ节点的转化。 一旦发生PV到PQ节点类型的转化，修正方程的结构将要发生改变，若采用直角坐标时，该节点关于Q的关系式将取代V的关系式。若采用极坐标则要增加一组Q的关系式即,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,最优潮流数学模型最先是法国电力公司提出来的，其本身是数学上的优化，数学模型描述为确定一组解使得目标函数的值极小。,控制变量状态变量，统一写成x来表示。最优潮流的重点在于如何确定修正量x和不等式约束。其中解决不等式约束尤为重要，方法也多种分类方法，不在一一陈述。总的来说牛顿法最优潮流是一种具有二阶收敛的算法，在最优潮流领域有较为成功的应用。,最优潮流的目标函数一般为系统的总发电成本，有功损耗，等式约束就是潮流方程，不等式约束为控制变量约束如发电机有功出力极端电压以及状态变量约束如负荷节点上的电压幅值以及各种函数不等式约束如线上传输功率以及发电机的无功出力。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,牛顿法一般不区分控制变量和状态变量优化计算在全变量上进行，在最优解处，全部等式约束应当满足，当有越界发生时将其固定在限值上，将不等式约束化为等式约束，这些约束是原问题的起作用的不等式约束。F中既有等式约束又有不等式约束中因越界而转化为等式约束的方程。如果预先已知在最优解点处全部起作用的不等式约束，并把他们用等式约束引入，则全部化为只包含等式约束的优化问题。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,加入不等式约束，而不等式约束条件h(x) 0，用二次罚函数来处理，扩展后的Lagrange 函数表示为,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,H为拉格朗日函数中的海森矩阵，J是起约束作用的雅克比矩阵，计算可得到修正量。与常规潮流不同的是，在最优潮流迭代过程中潮流方程并不满足，只有在最优点解出潮流方程才满足。如果已知最优点处的起作用的不等式约束集，使用前面迭代格式算法将具有二阶收敛，但对于复杂的大电力网络，在获得最优解之前，起作用的不等式约束集一般是未知的，估计正确的起作用的不等式约束是重点，最优潮流的难点在于如何确定起作用的不等式的约束集。一般都是在迭代过程中不断的调整起作用的不等式约束。 牛顿法的缺点是：约束集的确定比较困难，目前普遍用试验迭代法来确定约束集；编程实现困难；对应控制变量的 Hessian阵对角元容易出现小值或零值，造成矩 阵奇异；引入的Lagrange乘子的初值对迭代计 算的稳定性影响大。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,牛顿法在按上述的基本格式进行迭代时，其搜索方向为 可见这种方法与最速下降法比较，除了利用了目标函数的一阶导数之外，还利用了目标函数的二阶导数，考虑了梯度变化的趋势，因此所得到的搜索方向比最速下降法好，能较快地找到最优点。 牛顿法在有一个较好的初值，并且H为正定的情况下，收敛速度极快，具有二阶收敛速度，这是该法的突出优点。 牛顿法的缺点是：约束集的确定比较困难，目前普遍用试验迭代法来确定约束集；编程实现困难；对应控制变量的 Hessian阵对角元容易出现小值或零值，造成矩 阵奇异；引入的Lagrange乘子的初值对迭代计 算的稳定性影响大。,数学描述,潮流计算,最优潮流,总结分析,