高一数学必修—函数的单调性复习及练习
高一数学必修函数的单调性复习及练习1、 函数的单调性复习判断具体函数单调性的方法 （1）、定义法 一般地，设为定义在上的函数。若对任何、，当时，总有(1)，则称为上的增函数，特别当成立严格不等时，称为上的严格增函数；(2),则称为上的减函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格减函数。 利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取,且；（2）作差；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 在给定的区间D上的单调性）。例1.用定义证明在上是减函数。例2.用定义证明函数在R上的单调性。 （2）、函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数。二次函数当时，时单调减,时单调增；当时，时单调增，时单调减。反比例函数且当时,在时单调减，在时单调减；当时,在时单调增，在时单调增。指数函数当时，在R上是增函数；当，时在R上是减函数。对数函数 当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：与+单调性相同。（为常数）当时，与具有相同的单调性；当时， 与具有相反的单调性。当恒不等于零时，与具有相反的单调性。当、在上都是增（减）函数时，则在上是增（减）函数。当、在上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，在上是增（减）函数；当、在上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，在上是减（增）函数。设,为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。例3.判断在的单调性。（3）、 图像法 用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数的图像在区间上从左往右逐渐上升则函数在区间上是增函数；若函数图像在区间上从左往右逐渐下降则函数在区间上是减函数。、例4. 如图1-1是定义在闭区间-5,5上的函数的图像，试判断其单调性。（4）、复合函数单调性判断法定理1：若函数在内单调，在内单调，且集合， ；（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数。（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数。 归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形函数 单调性第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数外层函数复合函数判断复合函数的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则为增函数，若为一增一减，则为减函数（同增异减）；求出相应区间的交集，既是复合函数的单调区间。以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。 例7.求的单调区间。例8、已知，求的单调性。2、 函数单调性练习与巩固（1） 、基础题1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ )A.y=x+1 B.y= C.y=x24x+5D.y= 2.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2(0，)，当时，都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x) B.f(x)(x1)2 C.f(x)e2 D.f(x)ln(x1)3.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是 ()A.(1,1) B.(0,1) C.(1,0)(0,1) D.(，1)(1，)4下列函数在(0,1)上是增函数的是 （)Ay12x By Cyx22xDy55.函数y=loga（x22x3），当x=2时，y0，则此函数的单调递减区间是 ( )A.（，3) B.（1，） C.（，1）D.（1，）6给定函数；y|x1|；y2x1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是_7. f(x)x22x (x2,4)的单调增区间为_8.已知函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图象上，则不等式2<f(x)<2的解集为_.9、下图是借助计算机作出函数y =x2+2|x|+3的图象，请指出它的的单调区间。10已知函数f(x)(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值（2） 、提高题1设f(x)是(，)上的增函数，a为实数，则有 （ ）Af(a)<f(2a)Bf(a2)<f(a)Cf(a2a)<f(a)Df(a21)>f(a)2、若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是 ( )A增函数 B减函数 C先增后减D先减后增3.设x1，x2为yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)>0； (x1x2)f(x1)f(x2)<0； .其中能推出函数yf(x)为增函数的命题为_.(填序号)4、函数y=f(x)在R上是增函数，则满足f(x+1)>f(x2+x-3)的x的取值范围是 5、已知f(x)是定义在R上的减函数，试比较f(a2+4)与f(2a-1)的大小.6、求函数y=x+的单调区间.7、求函数y=的单调区间.8已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围9、求证函数f(x)x31在(，)上是减函数5
