2018年考研数学高分导学班讲义
梦飞翔考研工作室梦飞翔考研工作室QQQQQQQQ：81321659813216598132165981321659 1 2013201320132013 考研数学高分导学班讲义 线性代数部分矩阵理论 考研数学高分导学班讲义 线性代数部分矩阵理论 一、矩阵基本概念 1、矩阵的定义形如 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ，称为矩阵nm×，记为 nmij aA × =)(。 特殊矩阵有 （1）零矩阵所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵行数和列数都相等的矩阵称为方阵。 （3）单位矩阵主对角线上元素皆为 1 其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。 （4）对称矩阵元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个 矩阵相等。 3、矩阵运算 （1）矩阵加、减法： = = mnmm n n mnmm n n bbb bbb bbb B aaa aaa aaa A 21 22221 11211 21 22221 11211 ,，则 ±±± ±±± ±±± =± mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa BA 2211 2222222121 1112121111 。 （2）数与矩阵之积： = mnmm n n kakaka kakaka kakaka kA 21 22221 11211 。 （3）矩阵与矩阵之积： 2 设 = = nsnn s s mnmm n n bbb bbb bbb B aaa aaa aaa A 21 22221 11211 21 22221 11211 ,，则 = msmm s s ccc ccc ccc CAB 21 22221 11211 ， 其中 njinjiij babac+= 11 （njmi, 2 , 1;, 2 , 1=） 【注解】 （1）OAB=不一定有OA=或OB=。 （2）矩阵乘法没有交换律。 （3）含方阵BA,的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是BAAB=。 （4）设 011 )(axaxaxf n n +=，则定义EaAaAaAf n n01 )(+=，且关于矩阵A 的矩阵多项式可因式分解。 二、方程组的矩阵形式及解的概况 方程组的基本形式为 =+ =+ =+ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa （1） 称（1）为齐次线性方程组。 =+ =+ =+ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 （2） 称（2）为非齐线性方程组。 令 = mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 ， = n x x x X 2 1 ， = m b b b b 2 1 ，则（1） 、 （2）可分别表示为矩阵 形式： OAX=（1） 梦飞翔考研工作室梦飞翔考研工作室QQQQQQQQ：81321659813216598132165981321659 3 及 bAX=（2） 对方程组（1） ： 【例题 1】讨论方程组 = =+ 02 0 21 21 xx xx 解的情况，并分析原因。 【例题 2】讨论方程组 =+ =+ 0 02 31 321 xx xxx 解的情况，并分析原因。 对方程组（2） ： 【例题 1】讨论方程组 =+ = 1 3 21 21 xx xx 解的情况，并分析原因。 【例题 2】讨论方程组 =+ =+ 2 1 32 321 xx xxx 解的情况，并分析原因。 【例题 3】讨论方程组 =+ =+ 422 1 21 21 xx xx 解的情况，并分析原因。 三、矩阵问题的产生 初一数学问题：解一元一次方程bax= 情形一：当0a时，bax=两边同时乘以 a 1 得b a ax a ×=× 11 ，于是 a b x=； 情形二：当0, 0=ba时，方程bax=无解； 情形三：当0, 0=ba时，方程bax=有无数个解。 线性方程组的类似问题：讨论方程组bAX=的解 情形一：A是n阶方阵，且存在B，使得EBA= 由bAX=两边左乘B得BbBAX=，于是BbX=； 情形二：A虽然是n阶矩阵，但不存在B，使得EBA= 方程组bAX=是否有解及解的情况； 情形三：A是nm×矩阵，且nm 方程组bAX=是否有解及解的情况。 【注解】 （1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题矩阵的逆阵。 （2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题矩阵的秩。 四、矩阵两大核心为题 （一）逆阵 1、定义设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得EBA=，则称A为可逆矩阵，B称为A 4 的逆矩阵，记为 1 =AB。 2、两个问题 【问题 1】给定一个n阶矩阵A， 是否存在可逆矩阵 （事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在） ？ 【问题 2】 若n阶矩阵A可逆（即逆矩阵存在） ，如何求其逆矩阵？ 3、矩阵可逆充分必要条件 定理设A为n阶矩阵，则A可逆的充分必要条件是0|A。 4、求矩阵逆阵的方法 方法一：伴随矩阵法（略） 方法二：初等变换法 第一步 方程组的三种同解变形 （1）对调两个方程的位置方程组的解不变； （2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变； （3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。 第二步 矩阵的三种初等行变换 （1）对调矩阵的两行； （2）矩阵的某行同乘以一个非零常数； （3）矩阵某行的倍数加到另一行。 第三步 三种初等矩阵 （1） ij E单位矩阵的i行与j行对调或者i列与j列对调所得的矩阵。 性质：1）01|= ij E；2） ijij EE= 1 或者EEij= 2 ； 3）AEij为将A的i行与j行对调所得的矩阵， ij AE为将A的i列与j列对调所得的矩阵。 （2）)0)(ccEi单位矩阵的i行乘以c或单位矩阵的i列乘以c。 性质：1）0| )(|=ccEi；2）) 1 ()( 1 c EcE ii = ； 3）AcEi)(为将A的i行乘以非零常数c所得到的矩阵，)(cAEi为将A的i列乘以非零常数c所 得到的矩阵。 （3）)(kEij单位矩阵的j行的k倍加到i行或者单位矩阵的i列的k倍加到j列所得到的矩 阵。 性质：1）01| )(|=kEij；2）)()( 1 kEkE ijij = ； 梦飞翔考研工作室梦飞翔考研工作室QQQQQQQQ：81321659813216598132165981321659 5 3）)(kAEij为将A的j行的k倍加到i行所得到的矩阵，AkEij)(为将A的i列的k倍加到j列 所得到的矩阵。 第四步 三个问题 【问题 1】设A为n阶可逆矩阵，A能够经过有限次初等行变换化为单位矩阵？ 【问题 2】 设A为n阶不可逆矩阵，A能够经过有限次初等行变换化为 OO OEr ？ 【问题 3】 设A为n阶不可逆矩阵，A能够经过有限次初等变换化为 OO OEr ？ 第五步 初等变换法求逆阵及两个相关的定理 定理（初等变换法求逆阵）设A为n阶可逆矩阵，则A可以经过有限次初等行变换化为初等矩 阵。 （二）矩阵的秩（记住：在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件） 1、定义设A为nm×矩阵，若A存在一个r阶非零子式，但所有的1+r阶子式（如果有）都 是零，则r称为A的秩，记为rAr=)(。 【注解】 （1）任何矩阵的秩都既不超过其行数也不超过其列数。设A为nm×矩阵，则 ,min)(nmAr。 （2）设A为n阶矩阵，若0|A，则nAr=)(，称A为满秩矩阵。矩阵可逆、满秩及非奇异 等价。 2、矩阵秩的求法 将矩阵进行初等行变换阶梯化所得的非零行数即为矩阵的秩。 【注解】 （1）0)(=Ar的充分必要条件是OA=。 （2）1)(Ar的充分必要条件是OA。 （3）2)(Ar的充分必要条件是A至少有两行不成比例。 6 （4）设 = n a a a 2 1 ，则 = = O O r , 1 , 0 )(。 3、矩阵秩的性质 （1）)()()()( TTT AArAArArAr=。 （2）设BA,为同型矩阵，则)()()(BrArBAr+±。 （3）)(),(min)(BrArABr，等价于 )()( )()( BrABr ArABr 。 （4）设A为nm×矩阵，B为sn×矩阵，且OAB=，则nBrAr+)()(。 （5）设A为nm×矩阵，P为m阶可逆阵，Q为n阶可逆阵，则有 )()()()(PAQrAQrPArAr=。 【矩阵秩例题】 【例题 1】设,皆为三维列向量， TT A+=，证明：2)(Ar。 【例题 2】设A为n阶可逆阵，证明A的逆阵是唯一的。 【例题 3】设A为nm×矩阵，B为mn×矩阵，其中mn，且EAB=，证明：mBr=)(。 【例题 4】设A为n阶矩阵，且OEAA=+23 2 ，证明：nAErAEr=+)2()(。 高等数学部分 定积分理论 高等数学部分 定积分理论 一、定积分的产生背景 1、曲边梯形的面积问题 2、变速运动路程问题 二、定积分的定义设)(xf为,ba上的有界函数，若 i n i i xf = )(lim 1 0 存在，称)(xf在,ba 梦飞翔考研工作室梦飞翔考研工作室QQQQQQQQ：81321659813216598132165981321659 7 上可积，极限称为)(xf在,ba上的定积分，记 b a dxxf)(，即 b a dxxf)( i n i i xf= = )(lim 1 0 。 【注解】 （1）极限与区间的划分及 i 的取法无关。 （2）n0，反之不对。 （3）若一个函数可积，则 = + = n i n b a ab n i af n ab dxxf 1 )(lim)(。 三、定积分基本理论 定 理 1 设,)(baCxf， 令 = x a dttfx)()(， 则)(x为)(xf的 一 个 原 函 数 ， 即 )()(xfx= 。 【注解】 （1）连续函数一定存在原函数。 （2）)()()( )( xxfdttf dx d x a = 。 （3）)()()()()( 1122 )( )( 2 1 xxfxxfdttf dx
