河南理工大学材料力学五弯曲应力

,材 料力学,第五章 弯曲应力,2019年10月19日,§51 概述,§52 纯弯曲时的正应力,§53 横力弯曲时的正应力,§54 弯曲切应力,§55 提高梁强度的主要措施,第五章 弯曲应力,§51 概述,一、平面弯曲,纵向对称面,P1,P2,5.1 概述,二、纯弯曲,图示梁 AB 段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为纯弯曲。,CA与BD 段横截面上即有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为横力弯曲。,5.1 概述,§52 纯弯曲时的正应力, 实验现象,一、变形几何关系,5.2 纯弯曲时的正应力,纵向直线代表一层纤维，变形后为平行曲线。每层变成曲面，同层纤维变形相同。,下层纤维受拉伸长，上层纤维受压缩短；层间变形连续，中间必有一层即不伸长也不缩短，,称为中性层。,横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。,5.2 纯弯曲时的正应力, 基本假设,平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形后的轴线正交；,层间纤维无挤压。,5.2 纯弯曲时的正应力,纵向线bb变形后的长度为:,bb 变形前的长度等于中性层,纵向线bb的应变为,即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 高度呈线性分布。,中性层长度不变, 所以,3、变形几何关系,5.2 纯弯曲时的正应力,2、物理关系,因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:,即：纯弯曲时横截面上任一点的 正应力与它到中性轴的距离y成正比。 也即，正应力沿截面高度呈线性分布。,5.2 纯弯曲时的正应力,3、静力学关系,对横截面上的内力系，有:,根据静力平衡条件，纯弯曲梁的左侧只有对z轴的力偶矩M,，,即：,5.2 纯弯曲时的正应力,由:,z 轴通过形心,即：中性轴通过形心。,由:,因为y轴是对称轴，上式自然满足。,5.2 纯弯曲时的正应力,EIz 梁的抗弯刚度,将上式代入,由:,将弯矩M和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正 应力若为正值，即为拉应力，若为负值，即为压应力。 在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性 层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的 应力为压应力，此时,M和y可以直接代入绝对值。,5.2 纯弯曲时的正应力,在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。,令:,式中Wz称为扭弯截面系数，其单位为m3。,5.2 纯弯曲时的正应力,静力关系,实 验,平面假设,单向受力假设,中性层、中性轴,中性轴过横截面形心,EIz称为抗弯刚度,纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩,(1)应用公式时,一般将 M,y 以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号).,(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处,则公式改写为,（1）当 中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,§53 横力弯曲时的正应力,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。,虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算 横力弯曲时横截面上的正应力。,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,5.3 横力弯曲时的正应力,一、公式的应用范围,1、 在弹性范围内,3、平面弯曲,4、直梁,2、具有切应力的梁,二、强度条件： 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,5.3 横力弯曲时的正应力,强度条件的应用,(2)设计截面,(3)确定许可载荷,(1) 强度校核,要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力,5.3 横力弯曲时的正应力,例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a150mm，压板材料的弯曲许用应力140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.,解 (1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa,(2)求惯性矩，抗弯截面系数,(3)求许可载荷,5.3 横力弯曲时的正应力,例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为c =160MPa.已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核梁的强度.,F1=9kN,F2=4kN,A,C,B,D,1m,1m,1m,5.3 横力弯曲时的正应力,解,B截面,C截面,5.3 横力弯曲时的正应力,例3: 图示圆截面梁，直径d=200 mm，材料的容许正应力=10 MPa，容许切应力=2MPa 。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,解：求支座反力；,画剪力图和弯矩图；,最大正应力发生在距A端1.25 m 截面的上下边缘；,5.3 横力弯曲时的正应力,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,此梁满足正应力强度条件。,5.3 横力弯曲时的正应力,一、梁横截面上的切应力,1、矩形截面梁,§54 梁的切应力及强度条件,(1)两个假设,(a)切应力与剪力平行 (b)切应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处切应力相等),(2)分析方法,(a)用横截面m-m , n-n从梁中截取dx一段.两横截面上的弯矩不等.所以两截面同一y处的正应力也不等.,(b)假想地从梁段上截出体积元素mB1在两端面mA1,nB1上两个法向内力不等.,(c)在纵截面上必有沿 x 方向的切向内力dFs.故在此面上就有切应力,根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.,(3)公式推导,假设m-m,n-n上的弯矩为M和M+dM.两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.,A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积,化简后得,由平衡方程,(4)切应力沿截面高度的变化规律, 沿截面高度的变化由静矩 与y之间的关系确定,可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化.,y=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处) =0,y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值,式中,A=bh,为矩形截面的面积.,截面静矩的计算方法,A*为截面面积,为截面的形心坐标,2、工字形截面梁,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为,d 腹板的厚度, 距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.,(a)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.,(b)最大剪应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大剪应力.,假设,(a)沿宽度kk上各点处的剪应力均汇交于o点.,(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,3、圆截面梁,最大剪应力发生在中性轴上,4、 圆环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ,环的平均半径为r0,由于 «r0 故可假设,(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化.,(b)剪应力的方向与圆周相切.,式中 A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的剪应力发生中性轴上,其值为,z,y,r0,二、强度条件,三、需要校核切应力的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短,M 较小,而FS较大时,要校核剪应力.,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核切应力.,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力.,例题4 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN.跨长l = 5 m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲切应力= 100MPa ，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁,力 P 在梁中间位置时有最大正应力 .,(a)正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,(b)切应力强度校核,在计算最大剪应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.,据此校核梁的剪应力强度,以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.,解 (1)计算支反力做内力图.,例题5 简支梁AB如图所示.l2m,a0.2m.梁上的载荷为q10kN/m,F200kN.材料的许用应力为=160MPa,100MPa,试选择工字钢型号.,(2)根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表,选用22a工字钢,其Wz309cm3,（3）校核梁的切应力,腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过很多，应重新选择更大的界面.现已25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,例题6 对于图中的吊车大梁,现因移动荷载F增加为50kN,故在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度 2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力=152MPa,许用剪应力 =95MPa.试校核此梁的强度.,解 加强后的梁是阶梯状变截面梁.所以要校核,(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,(2)F靠近支座时支座截面上的剪应力,(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力,(1)校核F位于跨中时截面时的弯曲正应力,查表得20a工字钢,F,最大弯矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.,抗弯截面系数,(2)校核突变截面处的正应力,也就是校核未加强段的正应力强度.,该截面上的弯矩为最大,从型钢表中查得20a工字钢,(3)校核阶梯梁的切应力,F 靠近任一支座时,支座截面为不利荷载位置,请同学们自行完成计算.,§55 提高梁强度的主要措施,一、降低梁的最大弯矩值,1、合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件,2、合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时,二、增大Wz,1、合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似.,2、合理的放置,2、对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧.,三、根据材料特性选择截面形状,1、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,要使y1/y2接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力, 则称为等强度梁.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上 确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,例题 4,直径为 d 的钢丝绳缠绕在直径为 D 的圆柱上，已知钢材料的屈服极限为 ，若使钢丝绳缠绕后不产生塑性变形， D 的最小值应为多少？,解：,5.3 横力弯曲时的正应力,例5 简支梁由两块木板组成（未粘接），两板光滑接触，,求梁的应力。,解:各板平面假设成立,即,解得,5.3 横力弯曲时的正应力,如 ，则,粘接后，,5.3 横力弯曲时的正应力,思51. 图示三种截