有理数计算的一些问题

1,关于有理数计算的一些问题,(教练员用）贺祖琪,一、数的计算是中小学数学教学的基本内容,欧几里德,什么是数学？ 中国古人的理解。算术、“算法” 代表著作是“九章算术” 古希腊人的理解。其代表是 欧几里德的“几何原本”。,2,尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长 江、印度河与恒河等河谷地带发展起来的“河 谷文明”，产生了几何学。当时称为“丈量土地”。,大约在公元前600年左右，通过旅游和经商，传 入希腊，与哲学结合，被加工升华为具有初步逻 辑结果的论证数学体系。这时什么是几何学的概 念发生了改变。 几何学也是逻辑演绎系统。,3,其实几何原本不仅包含几何学内容，还包含代 数等内容。 如勾股定理，并产生费马大定理。 这是抽象数学的起源，也是科学的起源。,数学教学的宗旨？功能？ 数学学习是“脑力体操”， 其意义非凡。,4,二、有理数四则运算教学的基本内容,1.有理数的概念 (一)什么是有理数（正数、负数；整数、小数、分数） (二)纯循环小数与混循环小数 (三)正数与负数、数轴 2.有理数的大小比较(有理数的有序性及稠密性） 2.1 小数的大小比较 2.2 分数的大小比较 2.3 分数和小数的大小比较 3.有理数四则运算的基本技巧 (一)有理数计算基本技巧 （运算律与运算规则，数的拆分，相消等） (二)繁分计算 (二)绝对值计算,5,4.数的分拆（其实是数的运算技巧） 4.1 整数的分拆 4.2 分数的分拆 5.数列求和（数列求和的困难在于n项求和） 5.1 等差数列与等比数列求和公式 5.2 连消求和 6.递推方法（也是思考问题的方法） 6.1 由递推公式求数列通项 6.2 由递推公式数列求和 7.近似与估算（四舍五入、适当放大与缩小） 8.列举、试验、分析法（探索问题的有效方法与途径）,6,三、 绝对值计算 基本知识： 绝对值定义：数a的绝对值用符号|a|表示， 其意义为,7,由此可知，|a|0。 数a的绝对值|a|表示这个数在实轴上的点离 开原点的距离。,基本性质： (1)|a|=|-a|; (2)-|a|a|a|; (3)若|a|=|b|,则a=b(a与b同号)或a=-b(a与b 异号)；,x,8,(4)|a2|=|a|2=a2; (5)|ab|=|a|b|;,(6),(7)|a+b|a|+|b|; (8)|a|-|b|a-b|. 解绝对值问题的基本原则是去掉绝对值， （1）如果根据题目的已知条件或隐含条件 即可确定绝对值符号内的数（或式）为“正”、 “负”或“非负”（或“非正”），那么由绝对值的 定义可直接去掉绝对值符号；,9,（2）如果根据题目已知条件或隐含条件不能确定绝对 值符号内的数（或式）的符号，那么应分情况加以讨 论,确定绝对值符号内数(或式)的符号, 将绝对值的符号去掉. 例3.1 已知m4,化简： |m-4|+|7-2m|+|m2-2m+1|-|m2-2m+3|,解：由条件m4,可确定m-4与7-2m的符号，于是 前两个绝对值符号立即可以去掉。而代数式m2-2m+1 与m2-2m+3是一个非负，一个恒正，,所以后面两个绝对值符号也可去掉。 因为m4,所以，m-40; -2m-8 所以 7-2m7-8=-10,10, |m-4|+|7-2m|+|m2-2m+1|-|m2-2m+3| =m-4+2m-7+m2-2m+1-(m2-2m+3) =3m-13 例3.2 设a,b为有理数，且|a|0,方程 |x-a|-b|=3有三个不相等的解，求b的值。 （第7届华杯赛初一组第一次决赛试题1） 解：原方程等价于|x-a|=b±3,再一次去绝对 值符号，得四个根 x=a±(b±3）,11,细写出来便是 x1=a+b+3 x2=a+b-3 x3=a-b+3 x4=a-b-3 由于有且只有三个不相等的根，,所以其中必有二个相等，但显然，x1x2,x3x4, 只能是x1=x3或x1=x4;或 者x2=x3或者x2=x4.这样得 出b的可能值为0，-3，3。,12,但是，当b=0时,原方程便是|x-a|=3,只有两个 解，不合要求； 当b=-3时，原方程变为|x-a|=0,只有一个解， 所以，只能是b=3.,此时 x1=a+6 x2=a x3=a x4=a-6,13,例3.3,=|3-(3+x)|( 3+x0),解： 遇到多层绝对值问题，可以从里往外一 层一层去绝对值符号。 |3+|2-|1+x| =|3+|2+（1+x）|( 1+x0) =|3+|3+x|,14,例3.4 化简 |x+1|+|x-2|-|x+3|。 解： 关键是如何去掉三个绝对值符号。如果 分别去掉每个绝对值符号，则很容易。如 |x+1|,只要讨论x+10,x+10,x+1=0。点x=1称 为分界点。类似另外两个分界点为x=-3,x=2。 这三个分界点把数轴分成四部分，,这四部分分别为 x-3,-32。 然后分段进行讨论。,15,当x-3时，|x+1|+|x-2|-|x+3| =-(x+1)+(2-x)+(x+3)=4-x 当-3x-1时，|x+1|+|x-2|-|x+3| =-（x+1）+(2-x)-(x+3)=-3x-2 当-1x2时，|x+1|+|x-2|-|x+3| =（x+1）+(2-x)-(x+3)=-x,当x2时，|x+1|+|x-2|-|x+3| =(x+1)+(x-2)-(x+3)=x-4,16,例3.5 求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。,解：三个分界点为x=1,2,3.把实轴分成四部分： x1,1x2,2x3,3x.然后，分段进行讨论： 当x1时，原式=-(x-1)-(x-2)-(x-3)=6-3x, 这时x=1有最小值3； 当1x2时，原式=x-1-(x-2)-(x-3)=4-x,这 时x=2有最小值2；,17,当2x3时,原式=x-1+x-2-(x-3)=x,这时没有最小值； 当3x时，原式=x-1+x-2+x-3=3x-6,这时没有最小值。 综上所述，原式的最小值是2（x=2）. 有一般规律：形如|x-a1|+|x-a2|+|x-an| n个绝对值的代数和是当n为奇数时取中间分界 点x取值能取得最小值；当n为偶数时取中间两个 分界点x的取值或中间两个分界点之间的任意数。,18,如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值， 因为有奇数个分界点，所以当x取中间界点-3 时有最小值6； 又如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值， 因为有偶数个分界点，所以 -3x-2有最小值4。,19,例3.6 设代数式 |x-1|+|x-2|+|x-3|+ +|x-1998| 的值为常数，求x的取值范围。 解：按上面分界点分别讨论的办法太麻烦，不可取。 应找规律。因为这代个代数式为常数， 即结果不含x(结果与x无关)。现有偶数个绝对值， 若去掉绝对值后，化简结果不含x，则必然去掉绝对 值后，x的个数与-x的个数相等，其和为零。 由上题的分析，x应中间两个分界点范围的数。 即 999x1000.,20,若代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-2n|(n为自 然数)的值为常数，则x的取值范围是 nxn+1. 例3.7 已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|,求y的最大值。,解： 分界点为x=-3,-1,1。 当x-3时，y=-(2x+6)+4(x+1)+(1-x)=x-1 x-3, x-1-4;此时y的最大值为-4； 当-3x-1时，y=(2x+6)+4(x+1)+(1-x)=5x+11;,21, -31时，y=(2x+6)-4(x+1)+(x-1)=1-x, x1, 1-x0,y没有最大值。 综上所述，y的最大值是6。,22,例3.8 已知,则,解：由已知条件，,不妨取,则有,代入代数式,或,23,例3.9 已知|x-2|+|y-4|=0,求,解：因为|x-2|0,|y-4|0,而 |x-2|+|y-4|=0,|x-2|=0,|y-4|=0, x=2,y=4.于是,(裂项）,24,例3.10 令,则x的最大值与最小值的和是 （ ）。 （ 第8届华杯赛初一组复赛试题3）,25,解： 由于,x有三项类似于,的式子，所以，,所以，x的最大值是3，最小值是-1， 它们的和是2。,（基本方法是去掉绝对值符号）,26,|m|+2=3, 所以， |m|=1 |n|+3=5, 所以， |n|=2 于是 m2+n2=|m|2+|n|2=12+22=5。,例3.11,是同类项.问:m2+n2的值是多少？ (第7届华杯赛初一组复赛试题2) 解： 由题设，两个整式是同类项， 就是说它们不仅所含字母相同， 并且相同字母的幂次也相同，即,27,四、数列求和,数列求和一般来说是困难的问题。对中小学生 来说，能够掌握的只有等差数列和等比数列的 求和，以及能化为等差数列和等比数列的数列 求和问题。我们先从推导等差数列求和公式和 等比数列求和公式开始。推导这两个公式的思 想方法对于数列求和是很有用的思想方法。,28,4.1 等差数列与等比数列求和等公式。 （1）等差求和公式 设 a,a+d,a+2d,a+(n-1)d为等差数列， 求其和： Sn=a+(a+d)+(a+2d)+a+(n-1)d 解： Sn=a+(n-1)d+(a+2d)+(a+d)+a 2Sn=2a+(n-1)d+2a+(n-1)d+2a+(n-1)d =n×2a+(n-1)d,29,(等差数列求和公式）,（2）等比求和公式 设 a,aq,aq2,aqn-1为等比数列（q是公 比）,求其和： Sn=a+aq+aq2+aqn-1 解： qSn= aq+aq2+aqn-1+aqn 于是 Sn(1-q)=a-aqn,30,(等比数列求和公式）,（3）关系式,证明: n=2,1+2+1=4=22(数学归纳法) 假设1+2+n+2+1=n2 1+2+n+n+1+n+2+1 = 1+2+n+2+1 +n+n+1 =n2+n+n+1=(n+1)2,1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3 1+2+（n-1)+n+(n-1)+2+1=n×n,31,或者用等差求和:,32,上述过程实质上是寻求问题的算法的过程。 一旦问题的算法找到，那么，同类问题就用这 种算法（公式）计算。,例4.1,33,解:,(同分母的分数分子求和，可化为公式求和),34,例4.2 计算：,解:,(设法裂项,连消也是数列求和的基本方法),(整数部分与真分数部分分开),35,4.2 连消法求和 连消法是数列求和的基本方法，即原来n 项求和，设法“连消”，变成23项后再求和。 裂项是连消的基本方法之一，前面已经应用。 还有利用结合律，对算式重新分组，利用求和 公式、裂项等方法，找出规律，进行简算。,例4.3 计算,解:,36,例4.4 计算：,解: 令,37,（化为等比数列求和）,38,例4.5 比较,解: 先求和,再比较:,39,例4.7 计算,（第8届华杯赛初一组决赛第一试试题1）。 解:,40,例4.8,解: 重新分组,再利用求和公式:,41,例4.9 计算：,解: 裂项连消:,42,例4.10 计算：,解: 找连消规律:由于,43,44,递推方法是一种计算方法,也是一种思考方法。 它对我们并不是陌生的,一个人从开始认数时， 就产生了递推思想，人总是先认识自然数的1， 然后认识比1大的自然数2，3，。这实际上 已经存在一个递推公式： ak+1=ak+1 (1),这就是说,自然数中第k个数加上1,就得到它后面 的一个数ak+1.由(1)可得,五、递推方法,45,ak+2=ak+1+1 (2) (2)-(1)得到 ak+2-ak+1=ak