第02章受迫振动

第二章 受迫振动 §2.1 线性系统的受迫振动 §2.2 几个简化的实际例子 §2.3 任意周期激励的响应 §2.4 非线性系统的受迫振动 §2.5 线性系统的瞬态响应,第二章 受迫振动,系统在外界激励下产生的振动称为受迫振动，系统的受迫振动状态称为响应。激励既可以是外界提供的直接的力、力偶，也可能是间接作用因素，如温度、电磁场、位移等变化。按激励随时间的变化形式，可分为周期、瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬态激励下，系统响应的求解方法和规律。,§2.1 线性系统的受迫振动,1. 简谐激励的受迫振动,简谐激励力写成复数形式为,阻尼系统受迫振动方程为,这是一个线性常系数非齐次常微分方程，激励项显含时间变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加法，即方程的全解齐次通解非齐次特解。齐次通解上一章已求出，为,(2.1),非齐次特解用试凑法，设特解为 ，代入（2.1），得,H(w)是激励频率 w 的复变函数，称为系统的频率响应函数，简称频响函数。 H(w)写成指数形式为,于是特解为,(2.2),(2.4),(2.3),方程（2.1）的全解为为,(2.5),上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持续振动，称为稳态响应。待定常数A、j由初始条件确定。 系统的最后振动状态只剩下稳态响应，下面研究稳态响应与频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频率相同，振幅| X |和相位差 q 是激励频率的函数，由（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式,幅频特性,相频特性,幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。,(2.6),(2.7),图2.2 幅频特性曲线和相频特性曲线,由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s = 1附近，放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共振频率的准确值由db /ds = 0 导出,当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的高度为,幅频曲线,已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一确定，定量关系由系统品质因数Q 描述：,(2.8),(2.9),(2.10),显然，对小阻尼系统，可得,(2.11),(2.12),Dw 称为系统的带宽。 (2.11)、(2.12)式表明，品质因素Q同时表征了共振峰曲线的高度和陡削程度，即Q越大，则共振峰越高、越陡削。,当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1）的解为,(2.13),(2.14),上式中各个参数重写如下：,2. 受迫振动的过渡过程,系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称为过渡过程。研究过度过程有实际意义，如机器的通过共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过度过程。在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为,上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。,(2.16),(2.15),在实际系统中，总有阻尼存在，（2.16）式中的第一、二项会很快衰减，当激励频率与固有频率接近时，会出现一种特殊的振动现象，即拍振现象。解释如下： 令s = 1+2e，上述条件下（2.16）式变为,因此，x可看成是振幅（X(t)）按慢频率（慢节拍）周期变化（振幅不恒定、慢变）、位移按快频率变化（位移快变）的周期振动，时间历程曲线如图2.5。,(2.17),当激励频率等于系统的固有频率时，即共振时，从（2.15）式看，系统的稳态解为,但再经仔细研究，无穷大的振幅不是瞬间达到的，而是逐渐建立的。实际上，这时特解的假设模式应改为如下形式,代入无阻尼受迫振动方程,得,即,由此得无阻尼受迫振动方程的特解为,(2.18),图2.6,例2.1 在图示系统中,已知m, c, k1, k2, f0和w。求系统动力学方程和稳态响应。,解：由Newton第二定律，得：,由(2)式解出 x1 代入（1）式，得到关于 x 得系统动力学方程,设方程（3）右边两项对应的稳态复数解分别为 和,得：,其中：,所以,返回得实数解为,解：用Lagrange方程建立系统动力学程， 取广义坐标 q ，本题为完整非定常系统。,由Lagrange方程有,即,由题设有,并认为,稳态解为：,而,方程（1）变为,（2）,所以,例2.3 汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中m , c , k 和 l 已知。拖车的质量为m，以匀速v在不平的路面上行驶，路面形状设由 给出，x = v t，拖车对与汽车的连接点O的转动 惯量为J，轮质量不计，yo 远小于 l 因而认为O点无垂直位移。求拖车振幅达到最大值时拖车的速度。,解：以O点为动矩心，应用相对运动动量矩定理得：,§2.2 几个简化的实际例子 1. 惯性测振仪,惯性测振仪如图2.7所示。被测物体的振动（基础振动）使测振仪中的弹簧质量振子振动，用记录仪将振子的相对运动记录下来，就可给出被测物体的振动。 振子相对位移 x 的振动方程为,(2.20),(2.19),其中,图2.8所示为放大率X/B、相角与频率比的曲线。 作为动态测量仪器，一般要求放大率和相角（相位差）近似为常值。由图可见，z 0.7的几条曲线在高频率比区域基本上能满足这一要求， 实际上，此时式（2.21）在高频率比区域近似为,(2.21),式（2.20）近似为,因此，按高频率比设计的测振仪测出的是振动位移。 z 0.7时，式（2.21）在低频率比区域近似为,式（2.20）近似为,因此，按低频率比设计的测振仪测出的是振动加速度。 鉴于上述原因，一般测振仪的阻尼比取值z 0.7。,2. 振动的隔离,前面已经看到，弹性、阻尼元件能改变振动系统的振动特性，因此可以对系统附加弹性、阻尼元件来改变振动的传递特性，即隔振。在振动设备与地基之间采取隔振措施，使传到地基的振动力减小，称为主动隔振；反之，使振动地基传到设备的振动减小，称为被动隔振。图2.9为隔振模型。,（1）对主动隔振，假设设备上产生简谐振动力为F(t) = F0eiw t，如果不隔振，振动力1:1传到地基，隔振后，系统的振动方程为,幅频特性为,图2.9,传到地基的力为,（2）对被动隔振，假设地面的位移振动为y(t) = Yeiw t，如果不隔振，振动力1:1传到设备，隔振后，系统的振动方程为,可见，主、被动隔振的隔振系数表达式是相同的，但前者是力的传递系数，后者是位移地传递系数。 隔振系数的幅频、相频曲线如图2.10。由图可见，设计隔振系统时，要选取弹性元件使频率比大于2.5或 3，再按共振峰的削减要求选取阻尼元件。,频率比 s,3. 转子的临界转速,图2.11为简化的柔轴偏心转子。其质心运动微分方程为,(2.22),在小阻尼条件下，当s = 1时，系统共振、振幅达到最大。使系统达到共振的转速称为转子的临界转速。 当s 时，b1 = 1 ， q1 = p，这时转子的质心与轴线上O点重合，这种现象称为自动定心现象。,因为式中各矢量是xy平面内的平面矢量，故可用复数代替,方程（2.22）变为复微分方程,(2.23),与测振仪的方程形式完全相同，设特解为 r = A1exp(w t-q1)，由（2.21）式，振幅放大因子和相角为,§2.3 任意周期激励的响应,1. 谐波分析法,当激励F(t)为周期函数时，可将其展成Fourier级数：,其中,Fn称为F(t) 的离散频谱， Fn nw的图形称为频谱图。,(2.24),对实周期函数F(t)，将其展成实Fourier级数往往更方便：,其中,实际上，以上所有积分中的积分区间只要任意取一个周期即可。另外， F(t)如果是偶函数，F(t)可展成余弦级数； F(t)如果是奇函数，F(t)可展成正弦级数。,(2.25),F(t)激励下的线性系统的振动方程可写为,根据线性系统的叠加原理，方程（2.26)的解为,(2.26),其中,(2.27),以上将周期函数展成Fourier级数的分析方法称为谐波分析法。,例2.4 如图所示的系统 ，在凸轮的作用下受到图2.12b所示的锯齿波纹形支承运动的激励。已知m, c, k1 , k2 , w和 a，求稳态响应。,解：系统动力学方程为,§2.4 非线性系统的受迫振动,1. 谐波平衡法,设非线性系统受到任意周期激励的激励，动力学方程为,(2.28),设F(t)是均值为零的偶函数，因此可展成余弦级数,方程（2.28）写成,(2.29),对于非线性系统，叠加原理不适用，因此对方程（2.29）只能根据具体情况，求其近似解析解（半解析解）或数值解。假定对方程（2.29）存在周期解或拟周期解（近似周期解），并设解的均值为零，那么可将解假设成Fourier级数,（2.30）,期的周期函数，可展成Fourier级数，再令方程两边同阶谐波的系数相等，可定出an和qn。非线性振动方程的这种解法称为谐波平衡法。一般只确定解的前一、二阶谐波项。 谐波平衡法是一种正交级数解法，式（2.30）也可以假设成其它正交级数，但一般不易找到合适的正交级数。 谐波平衡法的缺点是事先不知道解的展式中要取多少项，对某些问题，项数取得不够，精度会很差。,2. 用谐波平衡法求解Duffing方程的受迫振动,简谐激励的欠阻尼Duffing方程的标准形式为,方程右端为一个周期函数，方程的解应使得左端的结果也应该是一个相同的周期函数；考察左端的四项可知，如果将方程的解假设成一个与右端频率相同的周期函数，那么方程的左端的结果为相同频率的周期函数，但该周期函数的形状与右端的一般不会相同。因此可以预计，将方程（2.31）的解假设成一个与右端频率相同的周期偶函数，是一个正确的开端，接下来的任务是使方程两边的周期函数的形状尽量接近相同。 根据上述分析，用一个不含常数项、基频为w 的Fourier 级数去逼近方程（2.31）的解是合适的，至少是值得一试的。我们取一阶谐波作为近似解，设,(2.31),代入（2.31），得,(2.32),两式平方和，得,代入C、D的表达式，得,令方程（2.31）两边一阶谐波的系数相等，得,(2.34),由（2.34）解出幅频特性方程为,相频特性方程由（2.33）得,(2.35),(2.36),为了由（2.35）式画出幅频特性曲线，分析如下： （1）明确 s、A 0； （2）曲线,(2.37),称为脊骨曲线，它将幅频特性曲线分为左、右两个分支：,（3）当A的某个值使得（2.35）式中的根式为零时，s 的两个值相等，幅频曲线的两个分支在脊骨曲线上某点汇交，这时 A达到边界值Ac ，由下式确定,（2.38）,求解，得,因此，画幅频特性曲线的步骤如下：（1）画出脊骨曲线；（2）由（2.39）式求出A c，并在脊骨曲线上标出A c的位置；（3）从A = A c值出发，在A 值的变化范围内，由（2.38）式画出幅频曲线的两个分支。 幅频特性曲线的示意图如图2.12。,(2.39),3.振幅跳跃现象,如图2.13，当激励频率从低到高缓慢变化时，振幅的值沿着分支1变化，一直到幅频曲线的顶点，然后振幅突变，跳到分支2上继续变化，整个路径如绿色箭头所指；当激励频率从高到低缓慢变化时，整个路径如橙色箭头所指。因此，分支2上的CD段曲线是不能实现的。 ,如果将相频特性曲线画出，会发现相位的变化将与幅值同步跳跃。由于跳跃现象是系统运动状态在某一参数临界值上的突变，因此是一种动态分岔现象。只有非线性系统才有这种现象。,例2.5 （P53题2.13)用谐波平衡法确定单自由度非线性受迫振动系统 的幅频曲线方程。,(2),(1),代人方程，得,（3）,例2.6 当e 充分小时，为确定非线性受迫振动系统 幅值为 a 的共振解，可用线性受迫振动系统 等效代替谐波原非线性系