梁的弯曲(应力、变形)

1,第九章 梁的弯曲,2,第九章 梁的弯曲,§9-3、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图,§9-1、平面弯曲,§9-4、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图,§9-2、梁的弯曲内力-剪力和弯矩,§9-5、用叠加法画弯矩图,§9-6、梁弯曲时的应力和强度计算,§9-7、梁的变形,§9-8、梁的应力状态,3,回顾与比较,内力,应力,4,梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲Pure bending,梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力剪力弯曲Bending by transverse force,§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算,一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam,5,研究对象：等截面直梁 研究方法：实验观察假定,6,横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交 纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短,实验观察梁表面变形特征,以上是外部的情况，内部如何？ 想象 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁,7,8,总之 ，由外部去 想象内部 得到 梁弯曲假设： 横截面保持为平面 变形后，仍为平面，且垂直 于变形后梁的轴线，只是绕 梁上某一轴转过一个角度 纵向各水平面间无挤压 均为单向拉、压状态,9,弯曲中 梁的中性层neutral surface 既不伸长又不缩短的纵面 截面的中性轴neutral axis 中性层与横截面的交线,10,纯弯曲时正应力公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,为梁弯曲变形后的曲率,为曲率半径,11,梁截面上正应力 1、沿 y 轴线性分布 2、与 z 坐标无关,12,正应力计算公式适用范围,剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式近似成立 截面惯性积 Iyz = 0 推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面,P124例题9-13,13,1.C 截面上K点正应力,2.C 截面上最大正应力,3.全梁上最大正应力,4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径,1. 求支反力,解：,14,2. C 截面最大正应力,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,15,3. 全梁最大正应力,最大弯矩,截面惯性矩,16,4. C 截面曲率半径,C 截面弯矩,C 截面惯性矩,17,二、弯曲剪应力 Shearing stress in bending beam,V为横截面上的剪力,Sz*为面积A*对中性轴的静矩,V,V,V,V,矩形梁截面上的切应力分布,最大剪应力,18,讨 论 1、沿高度方向抛物线分布 2、y=0时，切应力值最大 3、梁上下表面处切应力为零,19,腹板为矩形截面时,工字形梁腹板上的切应力分布,20,讨 论 1、沿腹板高度方向抛物线分布 2、y=0时，切应力值最大 3、腹板上下边处切应力最小,21,1、弯曲正应力强度条件,1.弯矩最大的截面上,2.离中性轴最远处,4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.变截面梁要综合考虑 与,目录,三、梁的强度条件,22,P126 例题9-14,2、弯曲剪应力强度条件,23,作弯矩图，寻找需要校核的截面,要同时满足,分析：,非对称截面，要寻找中性轴位置,目录,例题9-1,24,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,解：,目录,25,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,目录,26,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作弯矩图,目录,27,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,例题92,28,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,29,1. 降低 Mmax,合理安排支座,合理布置载荷,提高梁强度的主要措施,30,合理布置支座,31,合理布置载荷,32,2. 增大 WZ,合理设计截面,合理放置截面,33,合理设计截面,34,合理放置截面,35,3、等强度梁,36,37,一.基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度y：截面形心在y方向的位移,向下为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。,顺时针为正,§9-7 梁的变形 Beam deformation,38,变形后梁轴 线挠曲线,挠度：y,变形后梁截面：仍为平面,梁截面转角：,39,叠加原理： 承受复杂载荷时，可分解成几种 简单载荷，利用简单载荷作用下的位 移计算结果，叠加后得在复杂载荷作 用下的挠度和转角,条件： 材料服从胡克定律和小变形 挠度和转角均与载荷成线性关系,二.用叠加法求梁的变形,例 按叠加原理 求 A点转角 和 C点挠度,解：载荷分解如图,查梁的简单载荷变形表， 得到变形,=,+,例题9-3,叠加,=,+,42,三、刚度条件,一般钢筋混凝土梁的许可挠度：,钢筋混凝土吊车梁的许可挠度：,43,四、提高弯曲刚度的一些措施,1、减小梁的跨度 2、选择合理截面形状，提高抗弯刚度EI 3、改善梁的受力和支座位置 4、预加反弯度 5、增加支座,44,选择合理的截面形状,45,改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,46,改变载荷类型,改善结构形式，减少弯矩数值,或,用变形比较法解简单超静定梁(补充),处理方法：3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合， 求全部未知力,解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 静定基,几何方程变形协调方程,=,+,物理方程,补充方程,求解其它问题 （反力、应力、变形等）,49,§9-8 梁的应力状态,脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,50,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 表示，并且 该单元体称为主应力单元。,通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。,51,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,应力状态分类,52,1.斜截面上的应力,平面应力状态分析-解析法,53,列平衡方程,54,利用三角函数公式,并注意到 化简得,55,2.正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,P136例题9-22,56,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,主应力、主平面、主切应力,57,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,58,对于同一个点，所截取的不同方位的单元体，其相互垂直面上的正应力之和是一个不变量。,最大切应力、最小切应力：,最大切应力等于两个主应力之差的一半。,59,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆或莫尔圆,图解法-应力圆,60,1. 应力圆：,10-4 图解法-应力圆,61,2.应力圆的画法,10-4 图解法-应力圆,62,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力,3、几种对应关系,10-4 图解法-应力圆,§9.4 梁的主应力及其主应力迹线,梁发生横力弯曲， M与Q 0，试确定截面上 各点主应力大小及主平面 位置,单元体上：,主应力迹线（Stress Trajectories) 主应力方向线的包络线 曲线上每一点的切线 都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位,实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线,主应力迹线的画法,66,1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力,2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定,3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值,4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图,6、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用,7、了解提高梁强度的主要措施,5、熟练利用叠加法，正确绘制剪力图和弯矩图,小结,67,8、明确挠曲线、挠度和转角的概念,9、掌握计算梁变形的叠加法,