第五章 相似矩阵及二次型
第五章 相似矩阵及二次型第一节 向量的内积一数学概念1. 内积:设有n维向量 令 ,则称x,y为向量x与y的内积。2. 范数:称 为向量x的范数(或长度)。3. 单位向量:称 时的向量x为单位向量。4. 当 , 时,称 为向量x与y的夹角。5. 正交向量组:指一组两两正交的单位向量。6. 标准正交基:设n维向量 是向量空间V的一个基,如果 两两正交,且都是单位向量,则称 是V的一个标准正交基。7. 正交矩阵:如果n阶方阵A满足 那末称A为正交矩阵。8. 正交变换:若P为正交矩阵,则线性变换x=Py称为正交变换。二原理,公式和法则1 .内积的结果是一个数(或是一个多项式),且满足如下性质(其中x,y,z为n维向量, 为实数): (i) ; (ii) ; (iii) 2 .向量的范数是一个数,且满足如下性质:(i) 非负性 当x 0时, ;当x = 0时, 。(ii) 齐次性 ;(iii) 三角不等式 。3. 是单位向量。4. 正交向量组是线性无关的。5. 施密特标准正交化设 线性无关,取 , 令 第二节 方阵的特征值与特征向量 一 .数学概念1 .特征值与特征向量:设A为n阶方阵,若数 和n维的非零列向量x,使关系式Ax=x成立,则称数为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应与特征值 的特征向量。2 .特征多项式3 .特征方程 二 .原理,公式和法则1 .求特征值与特征向量的方法:(1) (实用于抽象矩阵);(2) (实用于具体矩阵);(3) (主要用于求特征向量)。2 .主要公式设 是A的特征值,x是A的对应于特征值 所对应的特征向量,则有 注: 特征值与特征向量指A可逆时。3 .特征值与特征向量的性质设 是A的n个特征值,则有1) 2) 3) A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。4) A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。5) 方阵A不同的特征值对应的特征值是线性无关的。第三节 相似矩阵一. 数学概念1 . 相似矩阵:设A、B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使 ,则称B是A的相似矩阵,记之AB。2 . 相似变换对A进行 运算称为对A进行相似变换矩阵。二. 原理,公式和法则1 . 相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。2 .若A相似于对角矩阵L,则L主对线上元素是A的n个特征值。3 .n阶方阵A能与对角矩阵L相似的充分必要条件是:A有n个线性无关的特征向量。4 .若n阶方阵A的n个特征值各不相同,则A与对角阵L相似。5 .实对称矩阵的特征值为实数。6 .实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量是线性无关的。7 .设 是实对称矩阵A的k重特征值,则矩阵 的秩 ,从而对应k重特征值 恰有k个线性无关的特征向量。8 .设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 ,其中L是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。第四节 二次型及其标准形一数学概念1. 二次型 称含有n个变量 的二次齐次函数为二次型。2. 二次型的矩阵形式3. 二次型的秩f的秩=R(A).4. 二次型的标准形称只含有平方项的二次型 为二次型的标准形(或法式)。二原理,公式和法则1. 设可逆的线性变换x=Cy,将f化成标准形,即 其实质将对称矩阵A化成对角阵L。2. 任给可逆矩阵C,令B=CTAC,如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵,且R(B)=R(A)。3. 任给二次型 ,总存在正交变换x=Py,使f化成标准形 ,其中 是f的矩阵 的特征值。第五节. 配平方法与合同变换法一. 数学概念若存在可逆矩阵P,使得 ,则称矩阵A和矩阵B是合同的。二. 原理,公式和法则1.若A合同B,则R(A)=R(B);2.任何一个对称矩阵均可合同于一个对角矩阵;3.若 ,且C可逆,A对称,则 其中 是初等方阵。由于 即 (1) (2)结合(1)和(2),得 第六节 正定二次型一数学概念1 .正定二次型设有实二次型 ,如果对任何x0都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f为正定二次型,并称矩阵A是正定的,记之A>0.2 .负定二次型对于实二次型 ,如果对任何x0都有f(x)<0,则称f为负二次型,并称矩阵A是负的,记之A<0.二.原理,公式和法则惯性定律设有实二次型 ,它的旨为r,有两个实可逆变换x=Cy,及x=Pz使 及 则 中正数的个数相等。正定二次型的判定实二次型 为正定的充分必要条件是:它的标准形的n个系数全为正。正定矩阵的判定对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。 对称矩阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺次主子式都为正。即 。负定矩阵的判定对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件的:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正。即