控制工程基础---总复习

控制工程基础 总复习,第二章 控制系统的数学模型 §2-2. 拉氏变换和反变换 复数的概念和运算 一 复数的概念 定义虚数 则,二 复数的表示方法 直角坐标表示法： 向量表示: 模： 辐角： （逆时针为正） 三角表示 指数表示：,复数运算法则 1 复数的加减法,2 复数的乘法 a 复数的直角坐标表示法 b 复数的指数表示法,2 复数的除法 a 复数的直角坐标表示法,b 复数的指数表示法,二拉氏变换概念 拉氏变换定义 ： 拉氏变换存在的条件 当 ta 半平面内 f(t) 的拉氏变换一定存在，且复变函数 F(s) 为解析函 数。,三拉氏变换性质 线性定理： 延迟定理： 位移定理：,微分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，则 零初始条件： 当 t = 0 时，,积分定理：设函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s)，则 其中，,初值定理： 设函数 f (t) 及其一阶导数 均为可拉氏变换的，则 f (t) 的初值为 终值定理： 设函数 f (t) 及其一阶导数 均为可拉氏变换的，则 f (t) 的终值为,四拉氏反变换 (一) 拉氏反变换的定义： 已知函数 f (t) 的拉氏变换为 F(s) ，求 f (t) 的拉氏反变换，记为 定义为 式中，r 为大于 F(s) 的所有奇异点实部的实常数。 奇异点 F(s) 在该点不解析，即 F(s) 在该点及其邻域不处处可导。 称 F(s) 为 f (t) 的象函数， f (t) 为 F(s) 的原函数。,简单函数的拉氏反变换 查拉氏变换对照表 复杂的采用部分分式展开法。 部分分式展开法： 设 式中 n m。 若 s1、s2、s3、sn 是 A(s) 的 n 个根，则,复杂的采用部分分式展开法。 一 A(s) = 0 无重根 ，其中 p 个实根，2 q 个复根( p + 2q = n ) 1 求系数 ki,2 确定系数 ki1 、 ki2 ： 方法一： 方法二： 采用通分后，比较同类项的系数，列出方程组，求解各个系数。,例：求 的原函数。 解：设 将上式右边通分， 比较上式两边分子，应有,二 A(s) = 0 有重根 ( 设有 个重根 s = s1 ) 系数确定：k2、k3kn- 同一。 为求k11、k12k1，在上式两边同乘以 ，,为求 k11 ，令式 中 s = s1 ，则 为求 k1i ，,§3. 传递函数的概念及基本环节的传递函数 一传递函数的概念 定义：当初始条件为零时，输出量 y(t) 的拉氏变换 Y(s) 与输入量 x(t) 的拉氏 变换 X(s) 之比。 即,二基本环节的传递函数 典型的基本环节： 比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 一阶微分环节 振荡环节 二阶微分环节 延时环节,§4. 系统框图及其简化 二系统构成方式及运算法则 1 串联连接,2 并联连接,3 反馈连接 闭环传递函数,第三章 控制系统的时间响应分析 §1. 时间响应及其典型输入信号 一 时间响应的概念 瞬态响应 ：系统在某一输入信号作用下，输出量从初始状态到稳定状态的响 应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时,系统的输出。,二 典型实验输入信号 2 典型实验信号 单位阶跃信号 单位斜坡信号,单位加速度信号 单位脉冲信号,正弦信号,瞬态响应指标 1 单位阶跃输入瞬态响应时的性能指标 延迟时间 td ：第一次达到稳定态的一半所需的时间。 上升时间tr ：第一次达到稳定态所需的时间（输出产生振荡时）或从稳定态的 10%上升到稳态值的90%所需的时间（无振荡时）。 峰值时间 tp ：达到超调量的第一个峰值所需的时间。 最大超调量 Mp ：超出稳态值(一般为1)的最大偏离量 Mp ; 或% ：采用百分比表示： 调整时间 ts ：第一次达到并保持在允许误差范围(一般为稳态值的=5%或 =2%)内所需的时间。,§2. 一阶系统的时间响应 一 一阶系统的数学模型,五 线性定常系统的重要特征 对线性定常系统来说，对输入信号积分（或导数）的响应，就等于系统 对输入信号响应的积分（或导数），积分常数由零输出初始条件确定。,§3. 二阶系统的时间响应 一 二阶系统的数学模型,1 二阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入信号： 二阶系统的传递函数 二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换,1. =1 ，临界阻尼情况： 无超调，无振荡。 2. 1 ，过阻尼情况 : 无超调，无振荡。,3. 01时 ，欠阻尼情况： 无阻尼自然频率 n 阻尼自然频率,振荡频率为阻尼自然频率d； 振幅为指数衰减，由系统参数n、决定。 随着的减小，调整时间 ts 变短，但振荡变严重。 一般阻尼比= 0.40.8 。,§4.二阶系统的瞬态响应指标 一 欠阻尼状态时的瞬态响应指标 1 上升时间 tr ：第一次达到稳定态所需的时间。,2 峰值时间 tp : 达到超调量的第一个峰值所需的时间。 故 tp 为阻尼振荡周期的 Td 一半，它的变化趋势与上升时间相同。,3 最大超调量 Mp ：超出稳态值（一般为1）的最大偏离量 Mp 。,4 调整时间 ts 当允许误差范围为±2% 时 当允许误差范围为±5% 时 n，ts ，ts,二 结论 二阶系统的瞬态指标由和n共同决定。 增大无阻尼自然频率n，可提高系统的快速响应性能，而不会改变超调量。 增大阻尼比，可减小最大超调量，减弱系统的振荡性能，使系统的相对稳定性增加，但会使系统的快速性变差。 当允许误差范围为 0.02 0.05 时调整时间在=0.7 左右时最小，故称 为最佳阻尼比。 一般，综合考虑系统的稳定性和快速性能，选择在= 0.40.8 的范围 内。,第四章 控制系统的频率特性分析 §1. 频率特性的基本概念 频率特性（频率响应） 控制系统或元件对正弦输入信号的稳态正弦响应。 稳态正弦响应 系统稳定状态时，输出量的振幅和相位随输入正弦信号的 频率变化的规律。 输入信号： 输出信号： 频率特性：,G(j)是一复数，可将其分解为实部和虚部，并在复平面s中用矢量表示，如图。 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,§2. 频率特性的表示法及基本环节的频率特性 一 频率特性的表示法 1 幅相频率特性图 又称奈魁斯特(Nyquist)图，简称奈氏图极坐标系。 频率特性 G(j) 是一个复数，是的函数。 当=0，G(j) 在复平面上的轨迹，就是奈魁斯特图。,2 对数频率特性图（伯德图，Bode 图) 设系统的频率特性为 对数幅频特性 L() 的单位是分贝(dB)。 对数相频特性,分贝 若数N1、N2满足 则称， N2N1 ，且两者相差 1 dB。 对数频率特性图 由对数幅频特性图和相频特性图两张图组成，统称 为频率特性的对数坐标图；对数幅频特性图纵坐标的单位是“分贝”，而相 频特性图纵坐标的单位是“度”； 十倍频程 在横坐标轴上取两点1、2，若 即,1、2在横坐标轴上的距离为一个单位长度，称为一个“十倍频程”， 以dec表示 。,二 基本环节的频率特性 比例环节 a 奈氏图,伯德图,2 积分环节 传递函数 频率特性 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,积分环节的伯德图 对数幅频特性 通过(1,0) 点、斜率为 -20 dB/dec 的直线。 对数相频特性,积分环节的伯德图,3 微分环节 传递函数 频率特性 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,b 伯德图 对数幅频曲线 L()是通过(1,0)点，且斜率为 +20 dB/dec 的直线 。 相频曲线,微分环节的伯德图,4 惯性环节 传递函数 频率特性 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,a 奈氏图 惯性环节的奈氏图是一个圆心在 (0.5 , j0) 半径为 0.5 的圆。,b 伯德图 对数幅频特性 低频渐近线 惯性环节在低频段的渐近线是一条零分贝线。 高频渐进线 惯性环节的高频渐近线是斜率为 -20dB/dec ，通过点 的直线。 转角频率 相频特性,惯性环节的伯德图,一阶微分环节 传递函数 频率特性 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,a 奈氏图,b 伯德图 对数幅频特性 低频渐近线： 高频渐进线： 一阶微分环节的高频渐近线是斜率为 20dB/dec ,通过点 的直线。 转角频率 。 对数相频特性,一阶微分环节的伯德图,振荡环节 传递函数 频率特性,实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,振荡环节的奈氏图,b 谐振频率与谐振峰值 在阻尼比 较小时，振荡环节的幅频特性|G(j)|有极大值，称为谐振峰 值Mr。产生谐振峰值的频率，称为谐振频率r。 谐振频率r 谐振峰值Mr,d 伯德图 对数幅频特性 低频渐近线： 振荡环节的低频渐近线是一条“零分贝”线。 高频渐进线： 振荡环节的高频渐近线是一条斜率为40 dB/dec ，且通过 点的直 线。 相频特性,伯德图,二阶微分环节 传递函数 频率特性 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,二阶微分环节的奈魁斯特图,伯德图 对数幅频特性 低频渐近线： 二阶微分环节的低频渐近线也是一条“零分贝”线 高频渐进线： 二阶微分环节的高频渐近线是一条斜率为 40 dB/dec ，通过 点的直线。 转角频率: 相频特性,伯德图,8 延时环节 传递函数 频率特性 实频特性 虚频特性 幅频特性 相频特性,b 伯德图 对数幅频特性 对数相频特性,绘制奈氏图： 1 由 绘制奈氏图 2 由 绘制奈氏图,三 绘制伯德图 的步骤,1.首先把系统传递函数表示成典型环节的乘积 2.根据系统的型次确定首段的斜率 3.根据系统的静态增益K确定首段的高度 4.根据每个环节的时间常数，T确定转折频率 5.根据每个环节的类型确定转折的斜率 6.最小相位系统可根据幅频特性确定其相频特性,