【2017年整理】抛物线平移、旋转、对称

1已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0） ，B （0，2）两点，顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90°后，将 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C，求平移后所得图象的函数关系式（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足NBB1 的面积是NDD1 面积的 2 倍，求点 N 的坐标解析 （1）利用待定系数法，将点 A，B 的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A （1，0） ，B（0，2） ，OA=1，OB=2，可得旋转后 C 点的坐标为（3 ，1） ，当 x=3 时，由 y=x2-3x+2 得 y=2，可知抛物线 y=x2-3x+2 过点（3，2）将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得 B1，D1 的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想2如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形 ABCD，ADBCx 轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B 点的坐标是（-1 ，5） （1）直接写出下列各点坐标A （， ）C（， ）D（， ） ；（2）等腰梯形 ABCD 绕直线 BC 旋转一周形成的几何体的表面积（保留 ） ；（3）直接写出抛物线 y=x2 左右平移后，经过点A 的函数关系式；（4）若抛物线 y=x2 可以上下左右平移后，能否使得 A，B，C，D 四点都在抛物线上？若能，请说理由；若不能，将“抛物线 y=x2”改为“抛物线 y=mx2”，试确定 m 的值，使得抛物线 y=mx2 经过上下左右平移后能同时经过A，B，C ，D 四点【解析】 （1）易得点 C 的纵坐标和点 B 的纵坐标相等，横坐标比点 B 的横坐标小 8，过 A作 AEBC 于点 E，那么 BE=3，利用勾股定理可得 AE=4，那么点 A 的横坐标比点 B 的横坐标小 3，纵坐标比点 B 纵坐标小 4，点 D 的纵坐标和点 A 的纵坐标相等，横坐标比点A 的横坐标小 2；（2）绕直线 BC 旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为 4，母线长为 5 的圆锥的侧面积和一个半径长为 4，母线长为 2 的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；（3）设新函数解析式为 y=（x-h ）2，把（-4，1）代入即可求解；（4）可把等腰梯形以 y 轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2 上；进而设函数的解析式为 y=mx2，A，B 中的 2 点代入即可求解3如图，已知点 A（-2，4）和点 B（1，0）都在抛物线 y=mx2+2mx+n 上（1）求 m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，若四边形 AABB 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形 AABB 的对称中心点 M 的坐标【解析】 （1）本题需先根据题意把 A （-2 ，4）和点 B （1，0）代入抛物线 y=mx2+2mx+n 中，解出m、n 的值即可（2）本题需先根据四边形 AABB 为菱形得出 y 的解析式，再把解析式向右平移 5 个单位即可得到平移后抛物线的表达式（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到 A、B的坐标，再过点 A作 AH x 轴，得出 BH 和 AH 的值，再设菱形 AABB 的中心点 M，作 MGx 轴，根据中位线性质得到 MG、BG 的值，最后求出点 M 的坐标4矩形 OABC 的顶点 A（-8，0） 、C（0，6） ，点 D 是 BC 边上的中点，抛物线 y=ax2+bx 经过 A、D 两点，如图所示（1）求点 D 关于 y 轴的对称点 D的坐标及 a、b 的值；（2）在 y 轴上取一点 P，使 PA+PD 长度最短，求点 P 的坐标；（3）将抛物线 y=ax2+bx 向下平移，记平移后点 A 的对应点为 A1，点 D 的对应点为 D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点 O 是 y 轴上到 A1、D1 两点距离之和 OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式【解析】 （1）由矩形的性质可知 B 点的坐标，因为点 D 是 BC 边上的中点，所以可求出点D 关于 y 轴对称点 D的坐标，把 A 点和 D 点的坐标代入抛物线 y=ax2+bx 可求出 a，c 的值；（2）先设直线 AD的解析式为 y=kx+n，有已知条件可求出 k 和 n 的值，再求出直线和y 轴的交点坐标即可；（3）设抛物线向下平移了 m 个单位，表示出点 A1，点 D1 的点坐标，又 O 是 y 轴上到A1、D1 两点距离之和 OA1+OD1 最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式5如图 1，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，以 BC 的中点 O 为原点，BC 所在直线为 x轴建立平面直角坐标系抛物线 y=ax2 经过 A，O ，D 三点，图 2 和图 3 是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的（1）求 a 的值；（2）求图 2 中矩形 EFGH 的面积；（3）求图 3 中正方形 PQRS 的面积【解析】 （1）根据题意可得点 D 的坐标，将点 D 的坐标代入二次函数解析式即可求得 a 的值；（2）根据图形分析得：正方形 IJKL 沿射线 JU 方向平行移动 15 个单位长度与正方形MNUT 重合，由平行移动的性质可知 EH=15，同理可得 EF=10，可得矩形的面积；（3）建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可6把边长分别为 4 和 6 的矩形 ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点 C 顺时针旋转 a角，旋转后的矩形记为矩形 EDCF在旋转过程中，（1）如图，当点 E 在射线 CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD 是等边三角形时，旋转角 a 的度数是 （a 为锐角时） ；（3）如图，设 EF 与 BC 交于点 C，当 EC=CG 时，求点 G 的坐标；（4）如图，当旋转角 a=90°时，请判断矩形 EDCF 的对称中心 H 是否在以 C 为顶点，且经过点 A 的抛物线上【解析】 （1）依题意得点 E 在射线 CB 上，横坐标为 4，纵坐标根据勾股定理可得点 E（2）已知BCD=60°，BCF=30°，然后可得=60 °（3）设 CG=x，则 EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出 CG 的值（4）设以 C 为顶点的抛物线的解析式为 y=a（x-4）2，把点 A 的坐标代入求出 a 值当x=7 时代入函数解析式可得解7如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（3，0） ，C（0，1） 将矩形 OABC 绕原点逆时针旋转 90°，得到矩形 OABC 设直线 BB与 x 轴交于点 M、与 y 轴交于点 N，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 C、M、N解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将MON 沿直线 BB翻折，点 O 落在点 P 处，请你判断点 P 是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向） ，使它恰好经过原点 O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式【解析】 （1）根据四边形 OABC 是矩形，A（3，0） ，C （0，1）求出 B的坐标，设直线BB的解析式为 y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出 M、N两点的坐标，设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c，把 CMN 三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；（2）设 P 点坐标为（x，y） ，连接 OP，PM ，由对称的性质可得出OPMN ，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出 MN 的长，由三角形的面积公式得出OE 的长，利用两点间的距离公式求出 x、y 的值，把 x 的值代入二次函数关系式看是否适合即可；（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论【解答】 （3）在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，所以，二次项系数和一次项系数不变，根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为 0，新解析式就为：y=-12x2+2x；在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-12，这时根据已经求出的 C（-1，0） ，M（5，0） ，可知它与 X 轴的两个交点的距离还是为 6，所以有两种情况，向左移 5 个单位，此时 M 与原点重合，另一点经过（-6，0） ，代入解出解析式为 y=-12x2-3x；当它向右移时要移一个单位 C与原点重合，此时另一点过（6，0） ，所以解出解析式为 y=-12x2+3x8在平面直角坐标系中点 A（0 ，2）C（4，0） ，ABx 轴，ABC 是直角三角形，ACB=90°（1）求出点 B 的坐标，并求出过 A，B，C 三点的抛物线的函数解析式；（2）将ABC 直线 AB 翻折，得到ABC1 ，再将ABC1 绕点 A 逆时针旋转 90 度，得到AB1C2请求出点 C2 的坐标，并判断点 C2 是否在题（1）所求的抛物线的图象上；（3）将题（1）中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为 y=ax2-mx+2m，并使抛物线的顶点落在ABC 的内部或者边上，请求出此时 m 的取值范围【解析】 （1）过 C 作 CDAB 于 D，根据 A、C 的坐标，易求得 AD、CD 的长，在 RtACB 中，CD AB，利用射影定理可求得 BD 的长（也可利用相似三角形得到） ，由此求得点 B 的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）根据ABC 的两次旋转变化可知 AB1 落在 y 轴上，可过 C2 作 C2D1AB1，根据ACDAC2D1 得 AD1、CD1 的长，从而求出点 C2 的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）在（1）题中求得了抛物线的二次项系数，即可用 m 表示出平移后的抛物线顶点坐标，得(m，4m-m22) ，由于此顶点在ACB 的边上或内部，因此顶点横坐标必在 0m5 的范围内，然后分三种情况考虑：顶点纵坐标应小于或等于 A、B 的纵坐标求出直线 AC 和直线 x=m 的交点纵坐标，那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标求出直线 BC 和直线 x=m 的交点纵坐标，方法同 结合上面四个不等关系式，即可得到 m 的取值范围9如图抛物线 y=ax2+ax+c（a 0）与 x 轴的交点为 A、B（A 在 B 的左边）且 AB=3，与 y轴交于 C，若抛物线过点 E（ -1，2） （1）求抛物线的解析式；（2）在 x 轴的下方是否存在一点 P 使得PBC 的面积为 3？若存在求出 P 点的坐标，不存在说明理由；（3）若 D 为原点关于 A 点的对称点，F 点坐标为（0，1.5 ） ，将CEF 绕点 C 旋转，在旋转过程中，线段 DE 与 BF 是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论【解析】 （1）抛物线 y=ax2+ax+c（a0）的对称轴是 x=-a2a=-12，又因与 x 轴的交点为A、B（A 在 B 的左边）且 AB=3，求出 A、B 点的坐标，解决第一问；（2）因为 SABC=3，PBC 的面积是 3，说明 P 点一定在过 A 点平行于 BC 的直线上，且一定是与抛物线的交点，因此求出过 A 点的直线，与抛物线联立进一步求得答案；（3）连接 DC、BC，证明三角形相似，利用旋转的性质解决问题10如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A、B 的坐标分