高考中常用的数学概念、公式、中间结论

高中数学重要知识点一、概念1.集合的基本运算交集：AB=x|xA且xB 并集：AB=x|xA或xB补集：全集为U,集合A(AU)的补集为=x|xU且xA2.(1)全称命题p:xM,p(x)的否定为特称命题p:M,p().(2)特称命题p:M,p()的否定为全称命题p:xM,p(x).3.分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.4.奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)f(|x|)成立，则f(x)为偶函数)5.对数：如果,那么数叫做以为底的对数,记作.其中叫底数, 叫做真数6.指数函数与对数函数指数函数对数函数定义形如y=(a>0且a1)的函数形如y=(a>0且a1)的函数图象定义域Rx|x>0值域y|y>0R过定点(0,1)(1,0)单调性a>1时,在R上单调递增0<a<1时,在R上单调递减a>1时,在(0,+)上单调递增0<a<1时,在(0,+)上单调递减函数值性质0<a<1,当x>0时,0<y<1；当x<0时,y>10<a<1,当x>1时,y<0；当0<x<1时,y>0a>1,当x>0时,y>1；当x<0时,0<y<1a>1,当x>1时,y>0；当0<x<1时,y<07.方程的根与函数零点的关系：由函数零点的定义，可知函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标所以，方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点8.导数的几何意义：函数f(x)在x=处的导数f'()的几何意义是曲线y=f(x)在点(,f()处的切线的斜率.相应的切线方程为f'().切点在切线上，又在函数图象上。 9.求可导函数极值的步骤求导数f(x); 求方程f(x)=0的根;列表,检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.10.求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤:求y=f(x)在(a,b)内的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.11.三角函数定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin =y, cos =x, tan =.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.12正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RRx+k,kZ值域-1,1-1,1R单调性在(kZ)上单调增;(kZ)上单调递减在2k-,2k(kZ)上单调增;在2k,2k+(kZ)上单调递减在 (kZ)上单调递增最值x=时,ymax=1;x=2k-,kZ时,ymin=-1x=2k(kZ)时,ymax=1;x=2k+(kZ)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k,0)(kZ)对称中心(kZ)对称中心(kZ)对称轴对称轴x=k(kZ)周期22注：的周期为，的周期为.13.向量加减法则 14.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数,使b=a.(2)平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数,使a=+，其中,是一组基底.15.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)abab(b0)x1y2-x2y1=0.(2)aba·b=0x1x2+y1y2=0|ab|ab|. 16.等差数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an-an-1=d(n>1,d为常数).(2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=.17.等比数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.符号表示为，q为常数.(2)等比中项:如果三个数a、G、b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么=,即G2=ab.18.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)在直线Ax+By+C=0的某侧任取一点(,),通过A+B+C的符号来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.(2)一般地，若Ax+By+C>0,则当B>0时表示直线Ax+By+C=0的上方；当B<0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C<0，与上述情况相反.19.复数的有关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a、bR)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位)，其中(2)复数的分类(3)复数相等:a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).特别地,a+bi=0a=0且b=0(a,bR).(4)共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数=a-bi(5)复数的模:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量.向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=(r0,a、bR).20.(1)直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)ab(2)平面与平面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行线线平行”)ab(3)直线与平面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简记为“线线垂直线面垂直”)l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab(4)平面与平面的垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直(简记为“线面垂直面面垂直”)性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直线面垂直”)l21.（1）异面直线所成的角定义：设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角. 范围:. （2）直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,PAO就是斜线AP与平面所成的角. 范围:. （3）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角l或二面角AB或二面角PABQ. 范围： 22.直线方程点斜式：yy1k(xx1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线) 斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)23.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);圆心(a,b),半径为r;圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);圆心(-,-),半径.24.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PMl于M标准方程+=1 (a>b>0)-=1 (a>0,b>0)y2=2px (p>0)图形范围|x|a,|y|b|x|ax0顶点(±a,0)(0,±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(,0)轴长轴长2a, 短轴长2b实轴长2a, 虚轴长2b离心率e=(0<e<1)e=(e>1)e=1准线x=-渐近线y=±x25.求曲线轨迹方程的定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定义直接求出动点的轨迹方程. 26.极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,).27.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆=r(0<2)圆心为(r,0),半径为r的圆=2rcos(-<)圆心为(r,),半径为r的圆=2rsin(0<)过极点,倾斜角为的直线=(R) 或 =+(R)过点(a,0),与极轴垂直的直线cos=a(-<<)过点(a,),与极轴平行的直线sin=a(0<<)28.直线与圆、椭圆的参数方程(1)过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线参数方程 (t为参数)(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程 (为参数)(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程 (为参数)29.将曲线的参数方程化为普通方程时,要把