九年级数学上册垂径定理

赵州石拱桥,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,垂直于弦的直径 （垂径定理）,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,X,任何一条直径所在的直线都是对称轴。,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,·,O,A,B,C,D,E,思考,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,总结：,垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。,垂径定理中“垂”与“径”代表什么意义？,引申定理,定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有：,平分弦,经过圆心,垂直于弦,平分弦所对的劣（优）弧,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O,A,B,C,E,O,C,D,A,B,练习1,O,B,A,E,D,在下列图形，符合垂径定理的条件吗？,O,垂径定理的几个基本图形,·,A,B,C,D,E,·,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论1:,CDAB吗？,(E),垂径定理及推论,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦., CD是直径, CDAB, AM=BM,“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.,一、判断是非：,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。,(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,（7）平分弦的直径垂直于弦,在O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,【变式1】在图中，若O的半径为10cm，OE=3cm，则AB= 。,弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫做弦心距,如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OCAB 弦心距用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？,【变式2】,1.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为 .,13cm,12,8,解：如图，设半径为R，,在tAOD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？,AB=37.4,CD=7.2,R,18.7,R-7.2,再逛赵州石拱桥,如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形., OEAC ODAB,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：ACBD。,图,小 结,、圆的轴对称性,、垂径定理及其推论的图式,E,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件，然后利用勾股定理解决问题。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,1、教材88页习题24.1 第8题 ； 2、教辅书48-51页,作业：,你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!,垂径定理的推论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,应用垂径定理的书写步骤,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,CDAB, CD是直径,AM=BM,8cm,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,练习 1,垂径定理的应用,方法归纳:,解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。,3、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。 弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,·,O,A,B,E,练习,解：,答：O的半径为5cm.,活 动 三,在RtAOE中,图中两圆为同心圆,变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？,变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？,变式1：AC与BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,已知P为O内一点,且OP=2cm,如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC, OMAB,ONAC,垂足分别为M, N,且OM=2,0N=3,则AB= , AC= ,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,