北师大八年级下册---第1讲-等腰三角形与直角三角形-讲义

1、等腰三角形与直角三角形【知识梳理】1、等腰三角形及其性质(1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角(2)性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形等腰直角三角形的两个底角相等，都等于454、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为RtABC(1)直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或h=abc.(2)定理：直角三角形的两个锐角互余推理过程：在ABC中，C90， AB90（或A90B，B90A）说明：这一定理应用的前提是Rt，已知一个锐角，求另一个角反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法(3) 定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30，那么它所对的直角边等于斜边的一半推理

2、格式：在ABC中，C90，A30，BC12AB(4)定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30推理格式：在ABC中，C90，BC12AB，A30【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=ODC；BE=CD；OB=OC（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）（2）选择第（1）题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形解：（1），（2）选择来证明结论成立已知：EBO=DCO，OB=OC求证：ABC是等腰三角形证明：OB=OC，OBC=OCB又EBO=DCO，ABC=ACB，AB=ACABC为等腰三角形例2、如图，在ABC中，AB=AC，O为ABC内一点，且OB=OC求证：AOBC证明：延长AO交BC于D在ABO与ACO中 ，ABOACO，BAO=CAO，即BAD=CAD，AOBC考点二：利用等腰三角形求度数 例3、如图，

3、点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE求A的度数分析：本题中没有给出一个角的度数，而要求A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解解：设A=xAD=DE=EBDEA=A=x，EBD=EDB又DEA=EBDEDB，EBD=EDB=x2BDC=AABD=32xBD=BC，AB=AC，BDC=BCD=ABC=32x在ABC中，AABCACB=180，即x+32x+32x=180，x=45，即A=45例4、AD和BE是ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC，求ABC的度数（1）当H是AD与BE的交点时，BE、AD是ABC的高，4=3=5=90，1C=2C=90，2=1又BH=AC，BHDACD，BD=AD，DBA=6又6DBA=90，DBA=45，即ABC=45（2）当H是AD、EB延长线的交点时，BE、AD是ABC的高，3=2=90，4=90，1H=90，CADH=90，1=CAD又BH=AC，DBHDAC，DB=DA，5=6又56=90，6=45，ABC=1

4、8045=135故ABC的度数为45或135考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法例5、如图，已知AD是ABC的角平分线，B=2C，求证：AC=ABBD（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE因为AD平分BAC，所以2=1又因为AD=AD，所以BADEAD（SAS）所以BD=ED所以3=B=2C因为3=C4，所以2C=C4，所以C=4，所以DE=CE所以CE=BD所以AC=AEEC=ABDB方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以E=1因为2=E1=2E，又因为2=2C（已知），所以C=E因为4=3，AD=AD，所以ADCADE（AAS），所以AC=AE因为AE=ABBD，所以AC=ABBD例6、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF求证：EFBC方法一：解：首先，小明根据等腰三角

5、形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AGBC于G这一条辅助线，如图证明1：过A作AGBC于GAB=AC，3=4又AE=AF，1=E又34=1E，3=E，AG/EF，EFBC方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AHEF于H这条辅助线，如图证明2：过A作AHEF于HAE=AF，EAH=FAH又AB=AC，B=C又EAHFAH=BC，EAH=B，AH/BC，EFBC方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MCBC交BA的延长线于M，如图证明3：过C作MCBC交BA的延长线于M，则12=90AE=AF，AEF=AFE，EAF=1802AFE又AB=AC，B=1又EAF=B1，EAF=21，21=1802AFE，1AFE=90，2=AFE，DE/MC，EFBC方法四：小颖的作法是：过E作ENEF交CA的延长线于N，如图证明4：过E作ENEF交CA的延长线于N，则12=90AE=AF，2=AFE，EAF=18022又AB=AC，B=C，EAF=BC=2B，2B=18022，B2=90，1=B，EN/BC，EFBC方法五：小虎的作法是：过E点作EP/AC交B

6、C的延长线于P，如图证明5：过E作EP/AC交BC的延长线于P，则AFE=2，3=P又AE=AF，1=AFE，1=2又AB=AC，B=3，B=P，EB=EP，EFBC方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）证明6：AE=AF，1=E又2=1E，2=2E又AB=AC，B=C，2=1802B，2E=1802B，即EB=90，3=18090=90，EFBC例7、如图，在ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，AD=BD求证：CDAC证明：取AB的中点E，连结DEAD=BD，DEAB，3=90又AB=2AC，AB=2AE，AE=AC又1=2，AD=AD，AEDACD，3=ACD，ACD=90，CDAC例8、ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F求证：DF=EF过E作EG/AB交BC的延长线于G，则G=B又AB=AC，B=1又1=ECG，G=ECG，CE=GE又BD=CE，BD=GE又BFD=GFE，BDFGEF，DF=EF知识点二：直角三角形考点一：30所对的直角边等于斜边的一半例1

7、 （将一个有45角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，如图，则三角板的最大边的长为（）A3cmB6cmC3cmD6cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，可求出有45角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边点评：此题考查的知识点是含30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边例2.如图，ACB = ADB = 90，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。分析：这里要证明两次三角形全等。例3.如图，在ABC中，B=C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 例4.在ABC中，AB=AC，于A（1） 求的度数（2） 证明：DC=2BD变式训练如图4，在ABC中，BDDC，若ADAC，BAD30求证：ACABABCD图4考点二：利用直角三角形的性质证明例5、如图所示，已知ABAE，BCED，BE，AFCD，F为垂足，求证：CFDF.分析：要证CFDF，可连接AC、AD后，证ACFADF即可.证明：连结AC、AD.在ABC和AED中，所以ACAD（全等三角形的对应边相等）.

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