离散数学11群与环
21页1、1/21 第 11 章1第十章 群与环11.1 设 ,问下面定义的二元运算 关于集合 是否封闭?是否10,9876,5432,1AA是可结合的?(1) ;),max(y(2) 与 的最小公倍数;(3) 与 的最大公约数;xy(4) 。解(1) 关于集合 是封闭的;是可结合的。A(2) 关于集合 不封闭。因为 。显然也不可结合。A1472(3) 关于集合 是封闭的;是可结合的。(4) 关于集合 不封闭。因为 。显然也不可结合。311.2 是自然数集。定义 上的运算 , , 。 问 是NNNmn, mn2否是 上的可结合的二元运算。请证明或举反例说明你的结论。解不是可结合的二元运算。因为 1684)62(4)3( 248显然, 。)3()(11.3 ,在 上定义一个运算: , 。试给出 关于运算,cbaAAAyx,xyA的乘法表,并证明 是半群。),(解关于运算 的乘法表如下:* abcc(1)封闭性对于 ,显然有, 。Ayx, Axy2/21 第 11 章2(2)结合律因为对于 ,我们有 ,且 ,所Azyx, xyzx)( xyz)(以 。x)()(综上所述, 是半群。,11.4 是自然
2、数集,在 上定义一个二元运算 : , 。试问NNNyx,yx是否是半群,是否有左、右幺元和幺元。),(解(1)封闭性对于 ,显然有 。Nyx, Nxy(2)结合律不满足因为 ,但25682)3(3 64323)( 所以, 。)(故 不是半群。),(N(3)1 为右幺元因为 ,显然有 ,所以 1 为右幺元。xx1(4)无左幺元,无幺元。11.5 设 是自然数集,在 上定义运算: , 。 是否是NNNba, 3ba),(N半群? 若是,证明之,若不是举例说明。证明(1)封闭性对于 ,显然有 。ba, ba3(2)结合律因为 ,有 ,Nc, 63)()()( cbacbacc且 。63)3()( baba所以, 。cc(综上所述, 是半群。),N11.6 是自然数集。在 上定义运算 : , 。证明:Nnm, nm3/21 第 11 章3是一个含幺半群。),(N证明(1)封闭性对于 ,显然有 。nm, Nnmn(2)结合律因为对于 ,我们有:Nt, nttntn)()(且 mmtm所以, 。t)()(3)幺元0 为幺元。因为对于 ,有 。N m000综上所述, 是一个含幺半群。),(11.7
3、, 是实数集。在 上定义一个运算: ,10|xRAAAyx,。xyyx(1)证明 是一个含幺半群;),((2)说出 不是群的理由。A(1)证明封闭性:对于 ,显然有 。yx, Axyyx结合律:对于 ,我们有:z xyzyzxyxzyx)()(z显然有, 。yxyx)()(幺元:0 为幺元。因为 。xxx000综上所述, 是一个含幺半群。),(A(2)解因为对于 ,有 ,即 1 不存在右幺元,所以不存在幺元。1x0y4/21 第 11 章4因此, 不是群。),(A11.8 是半群, 是 中的一个元素,使得对 中的每一个 , 中就存在满足下述aAxA条件的 和 ,使 。证明: 中存在幺元。uvxvu证明对于 ,存在 ,使得 ,于是对于 ,因为 ,使得x1ea1xu,所以 。即 是左幺元。ua ueua)()(1 1e对于 ,存在 ,使得 ,于是对于 ,因为 ,使得x2e2Axv,所以 。即 是右幺元。v avevv)(*)( 2e综上所述, 中存在幺元。A11.9 设 是一个半群。若 ,由 ,可得 ,称元素是左可约),(SSyx, yxyx元。若 均是左可约元,证明 也是左可约元。bab
4、a证明对于 ,若 ,因为设 是一个半群,所以*满足结Syx, yx)()( ),(S合律,从而有 。因为 为左可约元,所以 。又因为baaybx为左可约元,所以 。byx因此, 也是左可约元。ba11.10 判断下列代数系统哪些是群?哪些是含幺半群?哪些是循环群?, , , , , , , , ,),(R,),(Z,),(A),(S),(6Z),(6),(6Z5Z其中, , , 6,5432,106 06*5,4321,5, 。5*解是群,含幺半群,非循环群。),(R是群,含幺半群,非循环群。是群,含幺半群,循环群。),(Z是群,含幺半群,非循环群。5/21 第 11 章5是群,含幺半群,非循环群。),(A含幺半群,不是群。S是群,含幺半群,循环群。),(6Z是群,含幺半群,循环群。含幺半群,不是群。),(65Z含幺半群,不是群。11.11 是有理数集。 ,在 中定义运算 , ,定义:Q0QQyx,。证明: 是一个群。xyyx2),(证明(1)封闭性对于 ,显然有 。Qyx, Qxy2(2)结合律对于 ,有z, zyxzzxyzyxy )()(2)(4)()((3)幺元为幺元。因为对于
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