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反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

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1、I学号：本科生毕业论文论文题目：反常积分与无穷级数收敛关系的讨论作者：院系：专业：班级：指导教师： 2015 年 5 月 17 日NO.：200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic ： Author ： College ： Specialty ： Class ： Tutor ： May 17th, 2015郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 特此郑重声明！指导老师(手写签名) ：论文作者(手写签名) ：年月日摘要本文从反常积分的背景出发，介绍了反常积分的定义，性质和收敛性判别法.此外,本文对反常二重积分的一些简单问题以及反常积分在现实中的简单应用进行了讨论.最后，本文还叙述了无穷积分与无穷级数之间的联系与差别.关键词：反常积分；数学分析；换元法；反常二重积分；无穷级数Abstract

2、From the background of the improper integral, this paper introduces the definition, properties and convergence criterion. In addition ,it discusses some simply questions of improper double integral, as well as a simple application in the real of improper integral. Finally, the paper also describes the ties and differences between infinite integral and infinite series.Key words：improper integral, mathematical analysis, method of substitution,improper double integral, infinite series目录第 1 章绪论 .1

3、1.1 反常积分的背景 .11.2 反常积分的定义 .1第 2 章反常积分的性质和其收敛判别法 .32.1 反常积分的性质 .32.2 反常积分的收敛判别方法 .4第 3 章反常二重积分的简单讨论 .63.1 反常二重积分的定义 .63.2 反常二重积分的性质 .7第 4 章反常积分的计算和收敛性判别的举例 .94.1 反常积分的计算和收敛性判别的举例 .94.1.1 反常积分的计算举例 .94.1.2 反常积分的收敛性判别举例 .114.2 反常积分在现实中的简单应用 .13第 5 章无穷积分与无穷级数的联系与区别 .155.1 无穷级数的简单介绍 .155.2 无穷积分与无穷级数的联系 .175.3 无穷积分和无穷级数之间的区别 .20第 6 章结束语 .21第 7 章致谢 .22参考文献 .23反常积分与无穷级数收敛关系的讨论第 1 页共 23 页第 1 章绪论1.1 反常积分的背景Riemann 积分要求积分区间有限且被积函数在该区间上有界.但在实际的应用（特,ba)(xf别是物理应用）中,上述条件不满足,仍需要某种形式的积分.因此,积分的概念需要推广,保证

4、我们也可以讨论区间无限或无界函数的类似的积分问题,这就是本章所介绍的反常积分或广义积分.首先由一个例子引入：设地球的半径为 R,质量为 M根据万有引力定律知,地球对距球心人处质量为物体rRM的引力为： .2()/FxmgRx特别,当 , ,因而 .rRFmg2/G考虑将质量为的火箭从地面发射到引力所作的功.Mrrx利用微元法,并且由 W 与 F(r)之间有关可得dW=F(r)dr.因此,22()(1/)rRFdmgRx则火箭飞到无穷远处克服地球引力所作的功为li()rRxW假设以速度发射,它得到的动能为要使它飞出地球引力范围,则必须0v20/v01.2/mgkms1.2 反常积分的定义定义 11：设函数定义在无穷区间上,且在任何有限区间上可积,)aau如果存在黄冈师范学院本科生毕业论文第 2 页共 23 页极限 uaJdxf)(lim(1)则称此极限 J 为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分） ,记作 f,)a,并称收敛.()aJfxd(axd如果极限不存在,为方便起见,亦称()afxd发散. 定义 2：设函数定义在上,在点的任一右邻域内无界,但

5、在任何内闭区f(ab间上有界且可积 ,如果存在极限 ,则称此极限为无界函数,(,ubalim()buafxdJ在上的反常积分,记作 ,并称反常积分收敛,如果极限f ()baJfxd()bafxd不存在,这时也说反常积分发散.()baf反常积分与无穷级数收敛关系的讨论第 3 页共 23 页第 2 章反常积分的收敛判别法2.1 反常积分的性质（一）无穷反常积分的性质(1) 在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积, )(xf)ak()kfx)a且.()aafxdd(2) 和在区间上可积 , 由此在区间上可积,()fxg)()fgx)a且 . ()(aaafxgddx(3) 无穷积分收敛的 Cauchy 准则:若积分收敛，则 .()afxd0,()Afxd有（二）瑕积分的性质(1) 在区间上可积 , 是常数 , 则函数区间上可积, 且)(xf(,abk()kfxab.()bbaafxdd(2) 和在区间上可积，由此在区间上可积,且()fxg(,()fxg(ab. ) ()bbbaaafxgddx黄冈师范学院本科生毕业论文第 4 页共 23 页2.2 反常积分的收敛判别方法(一) 比较判别法: 设在区间上函数和非负且,)a()fx()g,又对任何，和在区间上可积，若fxgA(fxg,aA，则；若，则()ad )ad

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