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2.5从力做的功到向量的数量积

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卖家[上传人]：小**

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常见问题

1、5 从力做的功到向量的数量积,物理中我们学过功的概念，一个物体在力的作用下产生位移（如图）,力所做的功W可用下式计算: 其中是与的夹角.,当090时，W0, 即力F做正功；当90时，W0，即力F不做功；当90180时，W0，即力F做负功.,从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.,两个非零向量和，作，，则（）叫作向量与的夹角,思考1 如何定义向量的夹角？,计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.,探究点1 向量的数量积,由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规定:零向量可与任一向量垂直.,，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为 B1，则,| | cos叫作向量在方向上的射影(也叫投影),当为锐角时， | | cos_0,思考2 什么是向量的射影？,B1,O,B,A,当=0时， | |cos=_,| |,当为钝角时， | | cos_0.,当为直角时， | |cos_0,=,O,B,A,当=180时， | | cos=_,B1,物理实例中，与位移方向一致的分力的长度为 cos，即是力在方向上的射影.,-| |,结论：已知两个向量

2、与，它们的夹角为，我们把 | | |cos叫作与的数量积（或内积）.记作 =| | | cos,注意：向量的数量积是一个数量.,特别地:零向量与任一向量的数量积为0., 已知 =(1,1), =(2,0), 与的夹角= 45. 求 .,例1 已知| |=3，| |=4，且与的夹角=150，求 .,解： =| | |cos=34cos150 =34（- ）=6,解： | | = , | |=2, =45, 所以 =| | |cos= 2cos45= 2.,思考4 数量积的几何意义是什么？,特别提醒： 1. 2.若是单位向量,则,重要性质： 1.若是单位向量，则： 2. 3. 4. 5. 当且仅当时等号成立.,思考5 数量积的物理意义是什么？,反之成立吗？,解答：不成立.,解答：成立.,思考：,探究点2 向量的数量积的运算律,练习：判断下列说法的正误,3若， =0，则 =,2若，则对任一非零向量 ,有 0,1若 = ，则对任一向量，有 = 0 ,4若 =0，则 , 中至少有一个为 ,5若， = ，则 =,6若 = ,且 ,当且仅当 = 时成立,7对任意向量有

3、,例2 在ABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明： a=b+c2 bccosA， b=c+a2cacosB， c=a+b2abcosC.,证明：设则,同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.,=b+c2 bccosA.,例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.,证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于,可得,=0，所以，,即菱形的两条对角线互相垂直.,A,B,C,D,O,证明线段垂直的方法： 1.取两个不共线的向量作基底. 2.将要证明的向量用这两个向量表示. 3.利用进行证明.,【提升总结】,例4 已知单位向量 , 的夹角为60，求向量 , 的夹角.,解：由单位向量 , 的夹角为60，得,又,设与的夹角为，由可得,又所以 . 即向量与的夹角为 .,1.判断下列说法的正误: （1）平面向量的数量积可以比较大小. ( ) （2） ( ) （3）已知为非零向量,因为0 = ， = 0, 所以 = ( ) (4) ( ),2.ABC中，则该三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【解析】由知ABC为锐角；由知,ACB为钝角.,C,3.在ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，则,_.,-16,-2,4.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则ab=_.,解：,6.已知|a|=5，|b|=4，=120，求ab. 解： ab =|a|b|cos =54cos120 = 10.,7,课堂小结,1.两个向量的夹角,2.向量在轴上的正射影,正射影的数量,3.向量的数量积（内积）,4.两个向量的数量积的性质：,

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