中考专题:待定系数法应用
9页1、- 1 -中考专题之:待定系数法在数学问题中,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可设定一些尚待确定的系数(或参数) 来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数) ,称作待定系数。然后根据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分,在中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组) ,从而使问题获解。例如:“已知x23=( 1A) x2BxC,求 A,B,C 的值” ,解答此题,并不困难,只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后,就可得到 A,B,C 的值。这里的 A,B,C 就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组) ,从而使问题获解。例如:“点(2,3)在正比例函数图象上,求此正比例函数”,解答此题,只需设定正比例函数为 y=kx,将(2, 3)代入即可得到 k 的值,从而求得正比例函数解析式。这里的 k 就是有待于确定的系数。消除
2、待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解。例如:“已知 ,求 的值” ,解答此题,只需设定 ,则 ,代入 即可求解。这b2a3bb2=ka3ab=2k, ab里的 k 就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是:(1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;(2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组) ;(3)解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用:在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中,根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程(组) ,解出方程(组)即可求得答案。典型例题:例:若 是完全平方式,则 =【 】2x6kkA9 B9 C9 D3 练习题:1.已知 x216xk 是完全平方式,则常数 k 等于【 】- 2 -A64 B48 C32 D162.二次三项式 x2kx+9 是一个完全平方式,则 k 的值是 。3
3、.将代数式 化成 的形式为【 】 412(xp)qA. B. C. D.2()342(x)52(x4)二.待定系数法在分式求值中的应用:在一类分式求值问题中,已知一比例式求另一分式的值,可设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求分式,从而使问题获解。典型例题:例:已知 ,则 的值是【 】b5a13abA B C D2294练习题:1.已知 ,求代数式 的值。ab=0235ab(2)(+2)2.若 ,则 = 。a2b3a三.待定系数法在因式分解中的应用:在因式分解问题中,除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解,特别对于三项以上多项式的分解有很大作用(如:x 36x 2+11x6 , ,目前这类考题很少,但不失为一种有效的2235xy9y4解题方法) 。典型例题:例 1:分解因式: 。2x注:本题实际用十字相乘法解题更容易,但作为一种解法介绍于此。例 2:分解因式: 。2235yx9y4练习题:1. 分解因式: = 。2x41- 3 -2. 分解因式:x 34x212x= 。3. 分解因式: 。8四.待定系数法在求函数解析式中的应用:待定
4、系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与常数,我们常常先设它们为未知数,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将已知的条件代入方程,求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容,是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数,前面三种分别可设 y=kx,y =kx+b,的形式 (其中 k、b 为待定系数,且 k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同,设成一般式kyxy=ax2+bx+c(a、b、c 为待定系数) ,顶点式 y=a (xh) 2+k(a、k、 h 为待定系数) ,交点式 y=a (xx 1)(xx 2)( a 、x 1、x 2 为待定系数) 三类形式。根据题意( 可以是语句形式,也可以是图象形式 ),确定出a、b、c、k、x 1、x 2 等待定系数,求出函数解析式。典型例题:例 1:无论 a 取什么实数,点 P(a1,2a3) 都在直线 l 上,Q (m,n) 是直线 l 上的点,则(2 mn3) 2 的值等于 例 2:如图
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