向量组的线性相关性
19页1、27第四章向量组的线性相关性1设 , 求 及 .TTTvvv )04,3(,)1,0(,)1,(2 21v321v解 2T),0(31 ,2( T)2,102设 其中 , , ,求 .(5()(331 aa T)315,(1Ta)105,(2Ta)1,4(3a解 由 整理得)2(631 ),4(),0(,2(6TTTT),2(3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明 B 组能由 A 组线性表示 但 A 组不能由 B 组线性表示 证明 由312304) ,( 9718205640 r54076 r 0342 r知 R(A)R(A B)3 所以 B 组能由 A 组线性表示 由 0121023214rr知 R(B)2 因为 R(B)R(B A) 所以 A 组不能由 B 组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T 28B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明 A 组与 B 组等价 证明 由 0
2、1231201203) ,( rr知 R(B)R(B A)2 显然在 A 中有二阶非零子式 故 R(A)2 又 R(A)R(B A)2 所以 R(A)2 从而 R(A)R(B)R(A B) 因此 A 组与 B 组等价5 已知 R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明(1) a1能由 a2 a3线性表示 (2) a4不能由 a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由 R(a2 a3 a4)3 知 a2 a3 a4线性无关 故 a2 a3也线性无关 又由 R(a1 a2 a3)2 知 a1 a2 a3线性相关 故 a1能由 a2 a3线性表示 (2)假如 a4能由 a1 a2 a3线性表示 则因为 a1能由 a2 a3线性表示 故a4能由 a2 a3线性表示 从而 a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此 a4不能由 a1 a2 a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为 A 因为 0120712rrA所以
3、R(A)2 小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为 B 因为 020431|B29所以 R(B)3 等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问 a 取什么值时下列向量组线性相关?a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为 A 由)(| aA知 当 a1、0、1 时 R (A)3 此时向量组线性相关 8 设 a1 a2线性无关 a1b a2b 线性相关 求向量 b 用 a1 a2线性表示的表示式 解 因为 a1b a2b 线性相关 故存在不全为零的数 1 2使1(a1b)2(a2b)0 由此得 2112 )(a设 则1cbca1(1c)a2 cR 9 设 a1 a2线性相关 b 1 b2也线性相关 问 a1b1 a2b2是否一定线性相关?试举例说明之 解 不一定 例如 当 a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而 a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的
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