高考数学一轮复习 专题8_7 立体几何中的向量方法（练）

1、廉政文化是社会主义文化建设的重要组成部分，是在我国五千多年文明历史发展过程中形成的博大精深的中华文化，是中华民族的传统美德第07节 立体几何中的向量方法A 基础巩固训练1.直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为()A2BC D【答案】D2【河南省豫南九校第三次联考】已知直线的方向向量，平面的法向量，若， ，则直线与平面的位置关系是（ ）A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内或直线与平面平行【答案】D【解析】因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D3.【2017届河北定州中学高三周练】已知点A（1，-2,0）和向量=(-3,4,12),若向量,且，则B点的坐标为（ ）A（-5,6,24） B（-5,6,24）或（7，-10，-24）C（-5,16，-24） D（-5,16，-24）或（7，-16,24）【答案】B【解析】试题分析：设， ，依题意有，解得或.4.如空间直角坐标系中，已知，则直线AB与AC的夹角为_【答案】【解析】空间直角坐标系中， ， ， ， ，所以向量的夹角为，即直线与的夹角为，故答

2、案为.5已知向量a=（2，-1，1），b=(,1,-1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_.【答案】1且-2 B能力提升训练 1.在四棱锥中，则这个四棱锥的高（ ）A1 B2 C13 D26 【答案】B【解析】设面的一个法向量为则,令,则,则,故B正确2.已知平面，的法向量分别为(2,3，5)，v(3，1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上都不正确【答案】C3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥A-BEF的体积为定值D异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【解析】AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D.ACBE，故A正确B1D1平面ABCD，又E，F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD，故B正确C中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值故C正确建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，E(1,0,1)，F （，

3、1），(0，1,1)，（，1），.又|，|，cos，.此时异面直线AE与BF成30角当点E为D1B1的中点，F在B1处，此时E（，1），F(0,1,1)，（，1），(0,0,1)，1，|，cos，故选D.4.【2018届南宁市高三毕业班摸底】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，DAB=60.（1）求证：直线AM平面PNC；（2）求二面角D-PC-N的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)57979.试题解析：（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，PM=2MD，AN=2NB，MF/DC，MF=23DC，AN/DC，AN=23AB=23DC.MF/AN，MF=AN.MFNA为平行四边形.即AM/NF.又AM平面PNC，直线AM/平面PNC.（2）取AB中点E，底面ABCD是菱形，DAB=60，AED=90.ABCD，EDC=90，即CDDE.又PD平面ABCD，CDPD.又DEPD=D，直线CD平面PDE.故DP,DE,DC相互垂直，以D为原点，如图建立空间直角坐标系.则P0,0,3，N332,1

4、2,0，C0,3,0，A332,-32,0，B332,32,0，D0,0,0.易知平面PDC的法向量m=1,0,0，设面PNC的法向量nx1,y1,z1，由nPC=0nNC=0，得n=5,33,33.cosm,n=mnmn=579=57979.故二面角D-PC-N的余弦值为57979.5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】如图，在直三棱柱中， ， ，点分别为的中点. （1）证明： 平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接， ，点， 分别为， 的中点，可得为 试题解析：（1）证明：连接，点，分别为， 的中点，所以为的一条中位线， ，平面， 平面， 所以平面. （2）设，则， ，由，得，解得，由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.可得，故， ， ，设为平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，所以，二面角的余弦值为.C思维扩展训练1.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面底面，给出下列四个结论：；直线与平面所成的角为；.其中正确的结论是（ ）A. B

5、. C. D.【答案】C.错误；：由题意得即为与平面所成的角，正确；：由，正确.2.【2017浙江省嘉兴一中第一次联考】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是_，若D1EEC，则AE=_【答案】 90 1则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，m，0），0m2，则D1E=（1，m，1），A1D=（1，0，1），D1EA1D=1+0+1=0，直线D1E与A1D所成角的大小是90D1E=（1，m，1），EC=（1，2m，0），D1EEC，D1EEC=1+m（2m）+0=0，解得m=1，AE=1故答案为：900，13.正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角.（）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.【答案】(1) AB平面DEF；（2），（3）在线段上存在点，使平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则 即，二面角EDFC的余弦值为；- 8分（）设又

6、， 把， 在线段上存在点，使 -12分4.【新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】（）见解析；（）.【解析】（）连接BD，设BDAC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由ABC=120，可得AG=GC=.由BE平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分5【天津六校联考】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点(1)求证：；(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；(3)求与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；(3) .【解析】 (3)设平面的法向量为由得，即，取，则，得， 所以，与平面所成角的正弦值的大小为廉政文化进校园、进教材、进课堂。这是培养大学生廉洁自律，实现民族伟大复兴的战略举措。是新时期全面建成小康社会的需要

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