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初中数学竞赛教程23、质数与合数

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1、 2013 年暑期初一数学竞赛第二十三讲：质数与合数年暑期初一数学竞赛第二十三讲：质数与合数【知识要点】 1、一个大于 1 的正整数，若仅有 1 和这两个正约数，则叫做素数（也可以叫做质数）nnn ，若还有其他的正约数，则叫做合数。n 2、素数和合数有以下性质：（1）除 2 以外的所有偶数，都是合数；（2）2 是唯一的偶素数，除 2 以外，所有素数都是奇数；（3）若素数，则必有或；（4）若正整数、的积是素数，|p ab|p a|p babp则必有或。apbp3、算术基本定理（唯一分解定理）：任一整数，可以分解成，其中是互不相1n 12 12.(1)kaaa knPPPk12,.,kP PP等的素数，是正整数，则的正约数的个数为。12,.,ka aan12(1)(1).(1)kaaa【例题精选】例 1、有四个数，一个是最小的奇素数，一个是偶素数，一个是小于 30 的最大素数，另一个是大于 70 的最小素数，求它们的和。变式、（2005 年希望杯试题）（1）如果 a 是小于 20 的质数，且可化为一个循环小数，那么 a 的取值有哪几个？a1（2）如果 a 是小于 20 的合数，且可化为一

2、个循环小数，那么 a 的取值有哪几个？a1例 2、若、都是素数，且，试求的值。pq5729pq22pq变式 1、设、都是质数，并且，求pqrpqrpqp变式 2、若为素数，则仍为素数，则为（）p35p 57p A、素数 B、可为素数也可为合数 C、合数 D、既不是素数也不是合数例 3、有人说：“任何七个连续整数中一定有素数。 ”请你举一个例子，说明这句话是错误的。变式、是否存在连续 88 个自然数都是合数？例 4、证明：每一个大于 11 的自然数都是两个合数的和变式、设 p(5)是质数，并且 2p+1 也是质数求证：4p+1 是合数例 5、整数 240 能被多少个不同的自然数整除？变式、（希望杯试题）若为整数，则使得方程的解也是整数k(1999)2001 2000kxx的值有（）kA、4 个 B、8 个 C、12 个 D、16 个例 6、41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，40，41 这 41 个自然数，问：（1）能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？若能办到

3、，请举例说明；若不能办到，请说明理由。例 7、有一块地能被块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那n 么需块这样的地砖才能覆盖该块地，已知及地砖的边长都是整数，求的值。(76)nnn【巩固拓展】1、在 2005，2007，2009 这三个数中，质数有（）A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个2、下面给出的数中，其值为素数的是（）A、 B、12345678987654321 C、1111119111111 D、41993199343222 1993 199219942 3、将 1995 表示为两个素数之和的方法的种数是（）A、1 种 B、2 种 C、3 种 D、4 种4、三个不同的素数、，满足，则的最小值是（）mnpmnpmnpA、5 B、6 C、30 D、10 5、一个三角形的三条边长分别是、 (、都是质数)，且，abcabc16abc则这个三角形的形状是（）A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、直角三角形或等腰三角形6、若是正数，表示不超过的素数的个数，如，即表示不超过 5.1 的素数xx x5.13 有 2，3，5 共 3 个，那么的值是（）1993418 A、12 B、11 C、10 D、97、已知是素数，是奇数，且，则。ab22011abab8、在锐角ABC 中，三个内角的度数都是素数，则ABC 是三角形。9、已知、都是质数，且，那么满足以上条件的最小质数 pq1pq40pqp ；。q 10、已知是素数，是奇数，且，则。ab22011abab11、已知质数、满足，则。pq3741pq(1)(1)pq12、若 510510 的所有质因数按照从小到大的顺序排列为(是最大的质因kaaaa,321Lk数的序号)，则的值是。 kkaaaaaaaa1433221L13、已知三个质数，的乘积等于这三个质数的和的5倍，则= mnp222mnp14、在 1，2，3，这个自然数中，已知共有个素数，个合数，个奇数，nnpqk个偶数，则。m()()qmpk

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