2012-2013年高中常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题05 函数解析式的求法

1、 第第 05 讲讲：函数的解析式的求法：函数的解析式的求法【考纲要求考纲要求】 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函 数。数。 【基础知识基础知识】 1 1、函数的表示方法、函数的表示方法 函数的表示方法有三种。函数的表示方法有三种。 （1 1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个 等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。 （2 2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值）列表法：就是列出自变量与对应的函数值 的表来表达函数关系的方法。的表来表达函数关系的方法。 （3 3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。 2 2、求函数的解析式的主要方法有以下四种：、求函数的解析式的主要方法有以下四种： 待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函

2、数、指数函数和对数函数等） 时，可以用待时，可以用待 定系数法。定系数法。代入法：如果已知原函数代入法：如果已知原函数)(xf的解析式，求复合函数的解析式，求复合函数)(xgf的解析式时，可以用代入的解析式时，可以用代入法。法。换元法：如果已知复合函数换元法：如果已知复合函数)(xgf的解析式，求原函数的解析式，求原函数)(xf的解析式时，可以用换元的解析式时，可以用换元法。换元时，注意新法。换元时，注意新“元元”的范围。的范围。 解方程组法：如果已知抽象函数的解析式，可以用解方程组的方法。解方程组法：如果已知抽象函数的解析式，可以用解方程组的方法。例例 1 1 已知已知( )f x是一次函数，且满足是一次函数，且满足3 (1)2 (1)217f xf xx，求，求( )f x. .解：解： 设设( )(0)f xaxb a，则则3 (1)2 (1)333222f xf xaxabaxab5217axbax，2517aba比较等式两边的系数得 2a ，7b ，( )27f xx。例例 2 2 已知函数已知函数)sin(xAy（0,|)2的图形的一个最高点为（的图形的一个最高点为（2 2

3、，2） ，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6 6，0 0） ，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式. . 解：由题得解：由题得22sin()Aywx2(62) 4168( )2sin()28= 2sin(2)sin()1|842( )2sin()484Twwyf xxf xx QQ由题得函数的最小正周期函数的图像过点（，2）2例例 4 4 已知函数已知函数)(xf是定义在是定义在 R R 上的奇函数，且当上的奇函数，且当), 0( x时，时，)1 ()(3xxxf，求当求当)0 ,(x时，时，)(xf的函数解析式。的函数解析式。解：设点解：设点( , )(0)P x y x 是函数的图像上的任意一点，则点是函数的图像上的任意一点，则点 P P 关于原点的对称点为关于原点的对称点为(,)xy，因为，因为0,0xx ，所以点，所以点(,)xy必在必在)1 ()(3xxxf的图像上，所以的图像上，所以3(1)yxx 化简得化简得3(1)yxx。所以当。所以当)0 ,(x时，时，3( )(1)f xxx【点评点评】本题就是已知某区间的函数的解析式，

4、求对称区间的解析式。一般先在所求的本题就是已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式。一般先在所求的 来源来源: :学科网学科网ZXXKZXXK函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满称点满 足的方程。足的方程。【变式演练变式演练 2】2】 设函数设函数( )yf x的图象为的图象为1C，1C关于点关于点(2,1)A对称的图象为对称的图象为2C，求求2C对应的函数对应的函数( )g x的表达式。的表达式。例例 5 5 已知已知2(1)lgfxx，求，求( )f x；解：令解：令21tx （1t ） ，则，则2 1xt，2( )lg1f tt，2( )lg (1)1f xxx。【点评点评】 （1 1）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式。一般先换元，再求出）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式。一般先换元，再求出 函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式。函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析式。 （2 2）换元时，一定要注意新）换元

5、时，一定要注意新 元的取值范围，它就是所求函数的定义域。元的取值范围，它就是所求函数的定义域。 来源来源: :学科网学科网 ZXXKZXXK例例 6 6 已知已知3 311()f xxxx，求，求( )f x；解：解：33 31111()()3()f xxxxxxxx，1122xxxx Q或 3( )3f xxx（2x 或或2x ）。【点评点评】 （1 1）已知复合函数的解析式求原函数的解析式，有时不一定要先求出函数自变）已知复合函数的解析式求原函数的解析式，有时不一定要先求出函数自变 量的表达式。对于某些特殊的函数，可以直接进行配凑，再整体换元。量的表达式。对于某些特殊的函数，可以直接进行配凑，再整体换元。 （2 2）换元要注意新）换元要注意新 元的范围。元的范围。例例 7 7 已知已知( )f x满足满足12 ( )( )3f xfxx，求，求( )f x解：解：12 ( )( )3f xfxx ，把，把中的中的x换成换成1 x，得，得132 ( )( )ff xxx ，2 得得33 ( )6f xxx，1( )2f xxx【变式演练变式演练 5】5】： 定定义在区间义在区间( 1

6、,1)上的函数上的函数( )f x满足满足2 ( )()lg(1)f xfxx，求，求( )f x的表达式。的表达式。例例 8 8某人开汽车以某人开汽车以60/km h的速度从的速度从A地到地到150km远处的远处的B地，在地，在B地停留地停留1h后，后， 再再以以50/km h 的速度返回的速度返回A地，把汽车离开地，把汽车离开A地的路程地的路程x km表表示为时间示为时间 t h（从（从A地出地出发是开始）的函数，再把车速发是开始）的函数，再把车速v/km h表示为时间表示为时间 t h的函数的函数解：从解：从A地到地到B地地所需时间所需时间为为1502.5( )60h，从，从B地到地到A地所需时间为地所需时间为1503( )50h，所以，当所以，当02.5t 时时， ，60xt；当；当2.53.5t 时时， ，150x ； ；当当3.56.5t 时，时，15050(3.5)50325xtt ；所以，所以，60 ,02.5, 150,2.53.5, 50325,3.56.5.tt xt tt 60,02.5,0,2.53.5,50,3.56.5.tvtt 【变变式演练式演练 6】6

7、】 某厂生产某种零件，每个零件的成本为某厂生产某种零件，每个零件的成本为 4040 元，出厂单价定为元，出厂单价定为 6060 元该元该 厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100100 个时，每多订购一个，订购的全部零件个时，每多订购一个，订购的全部零件 的出厂单价就降低的出厂单价就降低 0.020.02 元，但实际出厂单价不能低于元，但实际出厂单价不能低于 5151 元元 (1)(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 5151 元？元？ (2)(2)设一次订购量为设一次订购量为 x x 个，零件的实际出厂单价为个，零件的实际出厂单价为 P P 元，写出元，写出函数函数 P Pf(x)f(x)的表达式；的表达式； (3)(3)当销售商一次订购当销售商一次订购 500500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1 1 000000 个，利润个，利润 又是多少元？又是多少元？( (工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本工厂售出一个

8、零件的利润实际出厂单价成本) ) 【高考精选传真高考精选传真】1.【2012 高考真题安徽理高考真题安徽理 2】下列函数中，下列函数中，不满足不满足：(2 )2 ( )fxf x的是（的是（ ）( )A( )f xx ( )B( )f xxx ( )C( )f xx ()D( )f xx 【解析解析】( )f xkx与与( )f xk x均满足：均满足：(2 )2 ( )fxf x得：得：, ,A B D满足条件满足条件2.【2012 高考真题山东理高考真题山东理 8】定义在定义在R上的函数上的函数( )f x满足满足(6)( )f xf x. .当当31x 时，时，2( )(2)f xx ，当，当13x 时，时，( )f xx。则。则(1)(2)(3)(2012)ffff（A A）335335 （B B）338338 （C C）16781678 （D D）20122012【解析解析】由由)()6(xfxf，可知函数的周期为，可知函数的周期为 6，所以，所以1)3()3(ff，0)4()2(ff，1)5() 1(ff，0)6()0( ff，1) 1 (f，2)2(f，所，所以在一个周期内有以在一个周期内有1010121)6()2() 1 (fffL，所以，所以33833351335)2() 1 ()2012()2() 1 (fffffL，选，选 B.3.【2012 高考真题江西理高考真题江西理 3】若函数若函数 1,lg1, 1)(2xxxxxf，则，则 f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0【解析解析】110lg)10(f，所以，所以211) 1 ()10(2 fff，选，选 B.【反馈训练反馈训练】1 1已知已知f f（xx 11）= =2211 xx ，则，则f f（x x）的解析式可取为（）的解析式可取为（ ）A.A.21xx B.B.212 xx C.C.212 xx D.D.21xx 2 2若若)(

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