(老师用)初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答
17页1、第 1 页 共 17 页专题三:二次函数存在性问题专题三:二次函数存在性问题1. (10 广东深圳)如图,抛物线 yax2c(a0)经过梯形 ABCD 的四个顶点,梯形的 底 AD 在 x 轴上,其中 A(2,0) ,B(1, 3) (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 为 y 轴上任意一点,当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时,求此时点 M 的坐标; (3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点 P 使 SPAD4SABM成立,求点 P 的坐标答案:(1) 、因为点 A、B 均在抛物线上,故点 A、B 的坐标适合抛物线方程40 3ac ac 解之得:1 4a c ;故24yx为所求(2)如图)如图 2,连接 BD,交 y 轴于点 M,则点 M 就是所求作的点设 BD 的解析式为ykxb,则有20 3kb kb ,1 2k b ,故 BD 的解析式为2yx;令0,x 则2y ,故(0, 2)M(3)、如图 3,连接 AM,BC 交 y 轴于点 N,由(2)知,OM=OA=OD=2,90AMB易知易知 BN=MN=1,易求2 2,2AMBM12 2222ABMSV;设2( ,4)P
2、 x x ,依题意有:2144 22AD x g,即:21444 22xg解之得:2 2x ,0x ,故 符合条件的 P 点有三个:123(2 2,4),( 2 2,4),(0, 4)PPP2. (10 北京)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y= x2xm23m241m 45m与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上。(1) 求点 B 的坐标;(2) 点 P 在线段 OA 上,从 O 点出发向点运动,过 P 点作 x 轴的xyMCBDA O图图 2xyCB_ D_ A OxyNMOP2P1BDAP3C图图 3第 2 页 共 17 页垂线,与直线 OB 交于点 E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE。以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运动时,C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求OP 的长; 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上 另一点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动,速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达
3、O 点时停止运 动,P 点也同时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点 M,使得 FM=QF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时, M 点,N 点也随之运动)。若 P 点运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值。答案:解:(1) 拋物线 y= x2xm23m2 经过原点,m23m2=0,解得41m 45mm1=1,m2=2,由题意知 m1,m=2,拋物线的解析式为 y= x2x,点 B(2,n)在拋41 25物线y= x2x 上,n=4,B 点的坐标为(2,4)。41 25(2) 设直线 OB 的解析式为 y=k1x,求得直线 OB 的解析式为y=2x,A 点是拋物线与 x 轴的一个交点,可求得 A 点的坐标为(10,0),设 P 点的坐标为(a,0),则 E 点的坐标为(a,2a),根据题意作等腰直角三角形 PCD,如图 1。可求得点 C 的坐标为(3a,2a),由 C 点在拋物线上,得2a= (3a)23a,即a2a=0,解得 a1=,a2=04
4、1 25 49 211 922(舍去),OP=。922 依题意作等腰直角三角形 QMN,设直线 AB 的解析式为 y=k2xb,由点 A(10,0),点 B(2,4),求得直线 AB 的解析式为 y= x5,当 P 点运动到 t 秒时,两个21等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:第一种情况:CD 与 NQ 在同一条直线上。如图 2 所示。可证DPQ 为等腰直 角三角形。此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4t、2t 个单位。PQ=DP=4t,t4t2t=10,t=。710第二种情况:PC 与 MN 在同一条直线上。如图 3 所示。可证PQM 为等腰直角 三角形。此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。OQ=102t,F 点在直线 AB 上, FQ=t,MQ=2t,PQ=MQ=CQ=2t,t2t2t=10,t=2。第三种情况:点 P、Q 重合时,PD、QM 在同一条直线上,如图 4 所示。此时 OP、AQ 的长可依次表示为 t、2t 个单位。t2t=10,t=。综上,符合310xyO11OABCDEPyx图 1第 3 页 共 17 页题
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