向量证明三线共点与三点共线问题
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http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 1 页 共 2 页 搜搜资资源源 上网站上网站用向量证明三线共点与三点共线问题用向量证明三线共点与三点共线问题山东 徐鹏 三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决 则简捷得多证明 A、B、C 三点共线，只要证明与共线即可，即证明证明ABACACAB三线共点一般须证两线交点在第三条直线上例 1 证明：若向量、的终点 A、B、C 共线，则存在实数、，且OAOBOC，使得；反之，也成立1OBOAOCAOBC图 1证明：如图 1，若、的终点 A、B、C 共线，则/,故存在实OAOBOCABBC数 m,使得，又，故ABmBC OBOCBCOAOBAB，令则存在)(OAOBmOBOCOBmOAmOC)1 ( ,1,mm使得, 1,且OBOAOC若，其中则，从而有OBOAOC, 11OBOAOC)1 ()，即又因为有公共点 B,所以OCOBOAOBBABCBABC和A、B、C 三点共线，即向量、的终点 A、B、C 共线.OAOBOC例 2 证明：三角形的三条中线交于一点证明：如图 2，D、E、F 分别是三边上的中点ABChttp:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 2 页 共 2 页 搜搜资资源源 上网站上网站ABCEDF 图G设则BEBGADAGGBEADbCBaCA,设)21()21()()(baabCABCabBEabBGABAG，又ba)1 (1(21 ）babaCDACADAG21)21()( 3232121121 解得所以则babaaADaAGCACG31 31)21(32 32，所以，所以 G 在中线 CF 上，所以三角形三条中线交于一baCF21 21CFCG32点
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