山东高中数学 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示课件 新人教a版必修4
23页1、 1、平面向量的坐标表示与平面向量分 解定理的关系。2、平面向量的坐标是如何定义的?3、平面向量的运算有何特点?类似地,由平面向量的分解定理,对于平面上的任意向量 ,均可以分解为不共线的两个向量和 使得a 1 1 a2 2 a=a 1 1 a+2 2 a在不共线的两个向量中,垂直是一种重要是情形,把一个向量分 解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?在平面上,如果选取互相垂直的向量作为 基底时,会为我们研究问题带来方便。我们把(x,y)叫做向量a 的 (直角)坐标,记作 a=(x,y),其中x叫做a 在x轴上的坐标 ,y叫做a在y轴上的坐标,(x ,y)叫做向量的坐标表示。ayjiO图 1xxiyja=xi+yj(1,0)(0,1)(0,0)i=j=0=其中i,j为向量 i,j ayjiO图 1xxiyj其中xi为x i,yj为y jyxOyxjA(x,y)a如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位置由a唯一确定。设OA=xi+yj,则向量O
2、A的坐标(x,y)就是点A的坐标;反过来,点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标。因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。i例1 如图,用基底i,j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解:由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 同理,b=-2i+3j=(- 2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)已知 , 你能得出 , ,的坐标吗?1 1a=(x ,y )2 2b=(x ,y )a+b-a b a已知,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)这就是说,两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。结论:一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= OB - OA= (x2,y
3、2) - (x1,y1)= (x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在图中标出坐标为 的P点吗?P已知a=(x,y)和实数,那么 a= (x, y) 即a=(x, y)这就是说,实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量 的相应坐标。例2 已知a(2,1),b(3,4 ),求a+b,ab,3a+4b例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A 、B、C的坐标分别为(2,1)、(1,3)、(3,4),求顶点D的坐标例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A 、B、C的坐标分别为(2,1)、(1 ,3)、(3,4),求顶点D的坐标平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=(3,7), AB=(-2,1),求OB 坐标。设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其 中b是非零向量,那么可以知道, a/b的充要条件是存在一实数, 使 a= b这个结论如果用坐标表示,可写为(x1,y1)= (x2,y2)即 x1= x2y1= y2问题:共线向量如何用坐标来表 示呢?消去后得 也就是说,a/b(b0)的等价表示是x1y2-x2y1=0x1y2-x2y1=0练习:下列向量组中,能作为表示它 们所在平面内所有向量的基底,正确 的有( )(1)e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )(2)e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )(3)e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )例5、已知 a=(4,2), b=(6,y), 且 a/b ,求 y 的值。例6、已知A(-1,-1),B(1,3),C(2 ,5),判断A、B、C三点的位置关系。ABC
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