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排列组合解题策略初探

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  • 上传时间:2018-04-25
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    • 1、第 1 页(共 10 页)排列组合解题策略初探 摘摘 要:要:排列组合问题是高考的必考题,其思考方法独特,求解思路灵活,联系实际生动有趣,但题型多样,不易掌握。教学中,排列组合也有多种的解题策略和方法,本文就排列组合中常用的方法进行了归类整理,其中常见的包括捆绑法、插空法、缩倍法等。 关键词:关键词:排列;组合;解题策略 Abstract: Permutation and combination is a necessary part in the college entrance examination. The way of thinking and solving these problems is unique, flexible, practical and interesting, but is not easy to master because of various types. There are various strategies and methods of permutation and combination in teaching. This paper

      2、classifies the methods commonly used in permutation and combination, including the binding method, interpolation method, demagnification method etc.Key words:permutation; combination; problem-solving strategies1分类计数原理和分步计数原理计数问题是数学中的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,也称为基本计数原理,它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。分类计数原理1 完成一件事有几类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的办法,则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。分步计数原理 完成一件事,需要分成几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。在掌握了解决计数问题的最基本、最重要方法的同时,我们也应该明确排列组合的区别和联系,以便于我们对题目的理解和提高解题的效率。

      3、第 2 页(共 10 页)2排列与组合的区别和联系排列与组合是学习概率的基础,是高中数学中较为抽象的问题,因而很多同学对这一块内容始终觉得困难,高考得分率较低。造成这种情况的原因主要是对排列与组合概念的理解不深刻,没有正确理解排列与组合的区别与联系,下面就排列与组合的异同点进行分析。2.1 排列与组合的相同点元素的取法相同,都是从 n 个不同的元素中取出 m 个元素,即“选()mn元”是排列与组合两个概念的共同属性。2.2 排列与组合的不同点对取出后的元素处理不同,排列是将取出后的元素按一定的顺序排成一列,与顺序有关;而组合则是将取出后的元素合成一组,与顺序无关,即“排序”是排列和组合两个概念的不同属性。2因此, “有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志,如从 A、B、C 三个元素中,任意取出两个元素的所有排列为:AB、BA、AC、CA、BC、CB;所有组合为:AB、AC、BC.在排列的意义下,AB 与 BA、AC 与 CA、BC 与 CB 不同,而在组合的意义下,AB 与 BA、AC与 CA、BC 与 CB 相同。 2.3 排列与组合的联系在解排列组合的某些应用题中,组合往往是排

      4、列的一个步骤,只需将所要进行排列的元素全部取出来,然后再进行排列,同时从排列数与组合数的计算公式3中也可以看出他们之间的关系。mmm nnmACAg3排列组合常见问题及其解题策略和方法排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路第 3 页(共 10 页)灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径,下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略。3.1 相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列,然后再对这几个元素进行全排列,即注意“松绑” 。例 3.1(1996 年全国文) 6 名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有( ) 。A、720 种 B、360 种 C、240 种 D、120 种解析 把甲、乙两人视为一人,这样 6 个人看作 5 个人,5 个人的排法有种,甲乙两人还有顺序问题,所以排法为种,故选 C。5 5A52 52240A A 3.2 不相邻问题插空法元素不相邻问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端

      5、。3例 3.2(2006 年重庆文) 高三(一)班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) 。A、1800 B、3600 C、4320 D、5040解析 先将 4 个音乐节目,1 个曲艺节目排列有种,再将 2 个舞蹈节目5 5A插入其中的 6 个“空” ,有种插入方法,即得不同的排法共有种,2 6A52 563600A A 故选 B。3.3 定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法。例 3.34(2006 年江苏理) 今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答) 。解析 同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题) ,先全排列,在第 4 页(共 10 页)消去各自的顺序即可,则将这 9 个球排成一列共有种不同的方法,9 9 234 2341260A A A A故填 1260。3.4 标号排位问题分步法把元素排到指定位置上,可先把某个(某些)元素按规定排入,第二步再排另一个(一些)元素,如此继续

      6、下去,依次即可完成。例 3.4(2000 全国文理) 乒乓球队的 10 名队员有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,3 名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 。 (用数字作答)解析 3 名主力队员要安排在第一、三、五位置有种方法,从其余 7 名3 3A队员选 2 名安排在第二、四位置有种,共有种,故填 252。2 7A32 37252A A 3.5 有序分配问题逐分法有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法。例 3.5(2002 年北京理) 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案有( ) 。A、种 B、种 C、种 D、 种44 128C C444 1284C C A44 128A C44 128A A解析 先从 12 名同学中选出 4 名同学分配到第一个路口,再从剩下的 8 名同学中选 4 名同学分配到第二个路口,最后的 4 名同学分配到第三个路口,共有种,故选 A。44 128C C3.6 全员分配问题分组法分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组

      7、再分配。5例 3.6 (2004 全国 III) 将 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少1 名,则不同的分配方案共有( ) 。A、12 种 B、24 种 C、36 种 D、48 种解析 把四名教师分成 3 组只有一种分法(即 2、1、1 型)有(因为局部涉及到平均分成两组问题,所以必须除以种方法,再把三组教师分配到三所2 2A学校有种,故共有种方法,故选 C。3 3A21 342 32 236C CAA第 5 页(共 10 页)3.7 名额分配问题隔板法对于相同元素的分组这类典型问题,可用“隔板”法求解。例 3.7 某学校要从高三的 6 个班中派 9 名同学参加市中学生外语口语演讲,每班至少派 1 人,则这 9 个名额的分配方案共有 种。 (用数字作答)解析 将 9 个名额视为 9 个相同的小球排成一排为,然后在 9 个小球的 8个空位中插入 5 块木板,每一种插法对应着一种放法,故共有不同的放法为种,故应填 56。5 856C 3.8 限制条件的分配问题分类法例 3.8(2005 福建文理) 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有

      8、一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( ) 。A、300 种 B、240 种 C、144 种 D、96 种解析 因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:若甲乙都不选,则有种;若选甲而不选乙,则有种;若4 4A133 343C C A选乙而不选甲,则有种;若甲乙都选,则有种,所以共有不133 343C C A222 342A C A同的选择方案总数为 种,故选 B。4133133222 4343343342240AC C AC C AA C A3.9 多元问题分类法元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计。例 3.96(2003 年北京春) 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为( ) 。A、42 B、30 C、20 D、12解析 1 对新增的 2 个节目分类: 不相邻:有种,相邻:有2 6A种,故不同插法的种数为种,故选 A 。 12 62C A212 66242AC A解析 2 利用“分步

      9、原理” ,首先在原 5 个节目的 6 个“空隙”中插入一个第 6 页(共 10 页)节目有 6 种,然后再在这 6 个节目的 7 个“空隙”中插入一个节目有 7 种,因此共有种,故选 A。6 7423.10 交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式 。例 3.10(2006 年湖北文) 安排 5 名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的种数是 。 (用数学作答)解析 设全集 =5 名歌手的出场顺序排列 ,A=某名歌手不第一个出场,B=另一名歌手不最后一个出场 ,根据求集合元素个数的公式得排法的种数共有种,故应填 78。5443 5443()78AAAA3.11 定位问题优先法某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素,再排其它的元素。例 3.117(2006 全国 I) 安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有 种。 (用数字作答)解析 甲、乙二人安排在 5 月 3 日至 5 月 7 日值班有种,其余 5 人安排2 5A有种方法,所以共有种,故应填 2400。5 5A25 552400A A 3.12 多排问题单排法把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。例 3.128 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( ) 。A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种解析 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共种,选 C 。6 6720A 3.13 “至少” “至多”问题用分类法或间接排

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