每周一讲--第7讲--可导、可微与连续的关系
2页可导、可微以及连续之间的关系可导、可微以及连续之间的关系讲义内容:讲义内容:设函数在的邻域内有定义,如果在处可导,那么在( )f x0x( )f x0x( )f x处必然连续.0x讲解:讲解:函数在处可导,即存在,由于时,分母 f x0x 000lim xxf xf x xx 0xx,故分子,即函数在处连续。但是,这个命00xx 00lim0 xxf xf x f x0x题的逆命题不成立,如在点处是连续但不可导的。另外,我们也可以从图 f xx0x 形的角度区别可导与连续,可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线,而连续是指函数的图像不间断。讲义内容:讲义内容:设函数在的邻域内有定义,那么函数在处可微与函数( )f x0x( )f x0x在处可导是等价的,也就是说:可微必可导,可导必可微.进一步地,我们还可以( )f x0x得到在处的微分.( )f x0x 0dyfxx讲解:讲解:若函数在处可微,则。 f x0x,0yA xoxx 根据导数的定义,故可微必可导。 000limlim xxA xoxyfxAxx 反之,若函数在处可导,则存在,不妨记,得 f x0x 0lim xy x 0lim xyAx ,即,由高阶无穷小的定义可知: 0lim0 xyAx 0lim0 xyA x x ,也即,故可导必可微。,0yA xoxx ,0yA xoxx 从该证明过程中也可以看出,函数在处可微时,其 f x0x,0yA xoxx 中的。 00,Afxdyfxdx讲解:讲解:简单解释一下上述定理的意义:首先,可导的函数必连续,这几乎是高等数学中最基本的结论之一了。它在解题时可以给我们一些隐藏的条件,只要题目中告诉了函数是可导的,也就意味着函数连续。另外,透过可导与可微的关系,我们可以弄清楚微分的几何意义同时,由于可导与可微等价,而微分的计算也等价与导数的计算,因此,对一元函数来说,只要弄清了导数,也就弄清楚了微分。而导数无论从理解的角度还是从应用的角度都要比微分方便很多,所以微积分将研究的重点放在了导数上。
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