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微分方程的普通解法

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卖家[上传人]：wt****50

文档编号：37854894

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1、微分方程的解法微分方程的解法1. 1. 微分方程的基本概念微分方程的基本概念常微分方程, 微分方程的阶, 微分方程的解、通解, 初始条件和特解的概念。2. 2. 一阶微分方程一阶微分方程掌握变量可分离变量可分离的微分方程及一阶线性一阶线性微分方程的解法。会解齐次方程齐次方程和贝努利方程贝努利方程并从中领会变量代换求解微分方程的思想。 3. 3. 可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程会)()(xfyn,),(yxfy ,),(yyfy 的降阶解法。 4. 4. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程理解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，了解高阶常系数线性齐次微分方程的解法。会求非齐次项形如xmexP)(, )sin)(cos)(xxPxxPenlx的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 5. 5.例题例题例验证函数212 Cxy 是微分方程012yyx的解。解将212 Cxy 和Cxy2代入012yyx的左边得 0112222 CxCx,所以212 Cxy 是方程012yyx的解。例求微分方程xyy212 的通解。解这是可分离变量的微分方程,

2、分离变量得xdx ydy 212,解此方程如下:1lnln21 11ln21Cxyy 11 yyCx .即得通解为 ) 1(1yCxy.例求微分方程22xxyyy 的通解。解这是齐次方程,即12xyxydxdy，令xyu udxduxdxdy得1uu dxdux ,分离变量得dxxduu1)11 ( 解得uCexu 即 xy Cey .例求微分方程xx xy dxdysin 的通解。解这是一阶线性非齐次微分方程xxP1)(Q , xxxQsin)( .由公式可得通解为Cdxexxeyxdx xdxsin,即xC xxycos.例微分方程xeyxcos2 的解。解对方程两端积分三次得12sin21Cxeyx ,212cos41CxCxeyx ,322 12 21sin81CxCxCxeyx .例求微分方程yxyx 2)1 (2满足条件 1)0(y,3)0( y的特解。解这是),(yxfy 型的，设py py ，代入原方程得dxxx pdp 212 ,积分得 12ln)1ln(lnCxp.即 )1 (2 1xCyp,由3)0( y得 31C,所以 )1 (32xy

3、,再积分得233Cxxy,由1)0(y得 12C.于是所求特解为 133xxy.例求微分方程2)(2 yyy 满足条件11xy,21xy的特解。解这是),(yyfy 型的，设py dydppy ，代入原方程得ydy pdp2 ,积分得 1lnln2lnCyp.即 2 1yCyp,由21xy得21C,所以22yy ,再积分得221Cxy ,由11xy得 32C.于是所求特解为 xy231 (或321xy).例求微分方程0134 yyy的通解。解这是二阶常系数线性齐次微分方程,对应的特征方程为 01342 rr,解得的特征根为 ir322, 1,原方程的通解为 )3sin3cos(212xCxCeyx.例求微分方程25xyy 的通解。解对应的齐次方程的通解为xxeCeCY21.又因25)(xxf,即25)(xxPm,0,不是特征根,所以可设原方程的一个特解为cbxaxy2,代入得 225)(2xcbxaxa, 比较两边同次幂的系数得 5a,0b,10c,所以得 1052xy.故所给方程的通解为 xxeCeCyYy211052 x.例设函数)(x连续,且满足 xxxdttxdtttex00)()()(,求)(x.解由题设得)()()()(0xxdttxxexxxxxdtte0)(, )()(xexx ,即 xexx )()(1)且 1)0(,1)0(2)和(1)对应的齐次方程的通解为 xCxCYsincos21.由于xexf)(1,它不是特征根,可设方程(1)的特解为xAey ,代入(1)式得21A ,即得xey21 .于是(1)的通解为xCxCyYxsincos)(21xe21 .由(2)可得 2121 CC , 故所求的)(x为xxxsin(cos21)()xe.例求微分方程xeyyy 2的通解。解对应的齐次方程的特征方程为022 rr，解得1,2r.对应的齐次方程的通解为xxeCeCY22 1.又因xexf)(,即1)(xPm,1,不是特征根,所以可设原方程的一个特解为xAey,代入原方程得21A,所以得xey21.故所给方程的通解为 xxeCeCyYy22 1xe21.

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