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不定方程解应用题

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文档编号：37707474

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1、1不定方程解应用题不定方程解应用题如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）为不定方程（组）。例例 1 1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在 10 以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为 13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？分析分析设三张牌为 x、y、z（xyz）.再设共发牌 n 轮（每轮发 3 张）.记作 x+yzS。nS131523=51。由于 n 和 S 都是整数，51317.只有 n=3，S=17.现在转变为不定方程：xyz 且 10xyz1 的条件下：x+yz17求整数解。即 x6.x 可能值为 6、7、8、9。第一种情况，x=6yz，而 y+z=17-6=11，而此时 y+z 最多为 5+4. 所以 x6。第二种情况，x=7yz，yz=17-7=10，只有 y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为 23，而 23 显然不可能表示为7，6，4中任意三个（可以重复的，

2、下同）数之和。第二种情况 x=7 亦被排除。第三种情况，x=8yz，yz17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。而 13（甲三次牌数字和）不能表示为8，7，2中任意三个数之和，23 不能表示为8，6，3和8，5，4中任意三个数之和，故 x=8 亦被排除。第四种情况，x=9yz，yz=17-9=8，观察知 y=5，z=3.（可排除9，7，1和9，6，2.）2综上所述，三张牌为 3、5、9。例例 2 2 采购员用一张 1 万元支票去购物.购单价 590 元的 A 种物若干，又买单价 670 元的 B 种物若干，其中 B 种个数多于 A 种个数，找回了几张 100 元和几张 10 元的（10 元的不超过 9 张）.如把购 A 种物品和 B 种物品的个数互换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数也恰好相反.问购 A 物几个，B 物几个？解：设购 A 种物 x 个，购 B 种物为 x+y 个，并设第一次购物找回 r 张 100 元，s 张 10 元，则这是 4 个未知数，2 个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则（方程两边同时乘或除以不为

3、 0 的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去 10，得由于（3）（4）式的右边都等于 1000，因此它们相等，整理后得 8y9r-9s=0，再在方程两边同时加上 9s-9r，得：8y9（s-r）（5）由于 y 是大于 0 的整数，所以 s-r 也是整数0。因此 89（s-r），98y。3但是 s 是 10 元钱的张数，s9，r 是 100 元钱的张数，所以 k=1，因此 y=9，s-r=8.显然 s=9，r=1。代回（3）式：得到 x=3。所以：x=3，x+y=3+912，r1，s=9.采购员购 A 物 3 件，B 物 12 件，找回 1 张 100 元，9 张 10 元。这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。（例（例 3 3 ）现有 3 米长和 5 米长钢管各 6 根，安装 31 米长的管道，问怎样接用最省料？解：设 3 米长用 x 根，5 米长用 y 根，列成不定方程：3x5y=31.分两种思路求解答：用 3 米长的 2 根，5 米长的 5 根。用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。4（例（例 4 4） 55 人

4、去游园划船，小船每只坐 4 人，大船每只坐 7 人，问要租大、小船各多少只？解：列不定方程，设大船 x 只，小船 y 只。7x4y=55。55-7x0（mod 4）；因此 7x55（mod 4）3（mod 4），但 73（mod 4），所以 x1（mod 4），因此 x1，或 x=5。所以有 x=1，y=12 以及 x=5，y5 两组解。例例 5 5 王虎用 100 元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共 100 包.油菜籽每包 3 元，西红柿种子每包 4 元，萝卜籽 1 元钱 7 包，问他每种各买了多少包？解：设买油菜籽 x 包，西红柿种子 y 包，则萝卜籽（100-x-y）包，列因此 y22.由于 6000（mod 20），所以 27y0（mod 20）；但（27，20）=1，所以 y0（mod 20）。因此 y20，x=3，100-x-y77。答：购油菜籽 3 包，西红柿种子 20 包，萝卜籽 77 包。（例（例 6 6） 100 匹马驮 100 筐物品，一匹大马驮 3 筐，一匹中马驮 2 筐，两匹小马驮 1 筐.问大、中、小马各多少？解：设大、中、小马的匹数依次为 x、y、

5、z，由题意，列不定方程为：5习题习题1.小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共 24 条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”2.李明带 6 元钱到花店买花.如果月季花 1 元钱一盆，茉莉花 8 角钱一盆，要把 6 元钱刚好用完.问能买月季花和茉莉花各多少盆？3.甲种铅笔 7 分钱一支，乙种铅笔 3 分钱一支，张明用 6 角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？4.李大伯下山去小商店买东西.下午 1 时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店.半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午 3 时半到家.已知平地每小时走 4 千米，上山每小时走 3 千米，下山每小时走 6 千米.请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？5.大汽车能容纳 54 人，小汽车能容纳 36 人，现有 378 人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？习题解答习题解答1.提示：鸡有 2 条腿，兔有 4 条腿。答：兔有 5 只，鸡有 2 只。2.买月季花 2 盆，茉莉花 5 盆或只买 6 盆月季花.63.共 16 支或 12 支。4.分析解：设平路有 x 千米，山路有 y 千米.由题意得：3 小时 30 分钟-30分钟-1 小时=2 小时，经整理得：x+y=4，即平路段+山路段=4 千米，往返路段为 42=8（千米）。只可取 x=1，3，5，7。只需 7 辆大车即可。需 5 辆大车，3 辆小车。需 3 辆大车，6 辆小车。需 1 辆大车，9 辆小车.

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