高等数学向量代数与空间解析几何
6页1、第五章第五章 向量代数与空间解析几何(数学一)向量代数与空间解析几何(数学一)51 向量代数向量代数一空间直角坐标系一空间直角坐标系从空间某定点作三条互相垂直的数轴,都以为原点,有相同的长度单位,分别称为轴,轴,轴,符合OOxyz右手法则,这样就建立了空间直角坐标系,称为坐标原点。O1两点间距离两点间距离设点,为空间两点,则这两点间的距离可以表示为1111,zyxM2222,zyxM2 122 122 1221zzyyxxMMd2中点公式中点公式设为,联线的中点,则zyxM,1111,zyxM2222,zyxM2,2,2212121zzzyyyxxx二向量的概念二向量的概念1向量向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质,它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系,而AB两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点,点叫终点,向量的长度叫做模,记为。ABABABAB模为 的向量称为单位向量。12向量的坐标表示向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点,记其终点,且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正OMMzyx,向为方向的单位向量依次记为,则向量可以表示为 kji,O
2、MzkyjxiOM称之为向量的坐标表达式,也可以表示为 OMzyxOM,称分别为向量在轴,轴,轴上的分量。称分别为向量在轴,轴,轴上的投zkyjxi,OMxyzzyx,OMxyz影。记与轴、轴、轴正向的夹角分别为,则OMxyz, 222cos zyxx222cos zyxy 222cos zyxz方向余弦间满足关系1coscos222cox描述了向量的方向,常称它们为向量的方向角。的模可以表示为 ,OMOM222zyxOM与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为zyxOM,OM OM1OM。 向量同方向上的单位向量常记为。OM OM1aa三向量的运算三向量的运算321321,aaakajaiaa321321,bbbkbjbibb321321,ccckcjcicc1加法。 减法。332211,babababa332211,babababa2数乘。(是常数) 向量的加、减和数乘运算统称线性运算。321,aaa3数量积。 其中为向量间夹角 bababa,cos332211bababa ba,ba,为数量也称点乘。 表示向量在向量上的投影,即 ba0baabajbabP
3、r04向量积也称为叉乘。ba bababa,sin的方向按右手法则垂直于所在平面,且 baba,321321 bbbaaakji ba是向量,。等于以为邻边的平行四边形的面积。baabbababa,5混合积:定义,坐标公式 cbacba,321321321 , cccbbbaaa cba几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。cba,cba,四两向量间的关系四两向量间的关系设321321,bbbbaaaa关系向量表示向量坐标表示间夹角ba, babacos2 32 22 12 32 22 1332211cos bbbaaabababa与垂直ab0ba0332211bbbaba与平行ab0ba 332211 ba ba ba52 平面与直线平面与直线一空间解析几何一空间解析几何1空间解析几何研究的基本问题(1)已知曲面(线)作为点的几何轨迹,建立这曲面(线)的方程。(2)已知坐标和间的一个方程(组) ,研究这方程(组)所表示的曲面(线) 。yx,z2距离公式 空间两点与间的距离为111,zyxA222,zyxBd2 122 122 12zzyyxxd3定比分点公式 是的分点:,点的坐标为,
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