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高数学基础知识义函数的综合运用

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1、第九讲第九讲函数综合练习函数综合练习基本知识回顾基本知识回顾一一.定义域、值域、对应法则定义域、值域、对应法则1). x 自变量的取值范围叫做这个函数的定义域。2）.函数中 y 的变化范围，叫做这个函数的值域。3）.自变量 x，与 y 的对应关系，对应法则。二二.函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性1）.函数的单调性：函数在定义域内的增减性。f(x)在其定义域内，当时，都有，那么就说函数 f（x）是其定义12xx 12f xf x域的增函数。当时，都有，那么就说函数 f（x）是其定义域的减函数。12xx 12f xf x函数增减性证明通常采用定义法。从图像来看：1）增函数从左到右逐渐上升2）减函数从右到左逐渐下降2）判断函数的奇偶性：要看 f(x)与 f(-x)的关系。函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断。表达式的判断：当 f(-x)=f(x)的时候，是偶函数。当 f(-x)=-f(x)的时候，是奇函数。f(x)=0,既是奇函数，又是偶函数三三.指数函数和对数函数指数函数和对数函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自

2、变量作为新函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。互为反函数的两函数图象关于对称。从定义我们可以看出原函数的值域是反函数的定义域，原函yx数的定义域是反函数的值域且原函数与其反函数单调性一致。这时，我们发现指数函数和对数函数正好满足反函数的定义，所以我们说指数函数与对数函数互为反函数。经验证图像间的关系，定义域与值域的关系都满足。函数的反函数我们用 f x 1fx注意：反函数存在的条件：原函数要是一一映射。求反函数的步骤：1）用来表示；2）互换，3）标注反函数的定义域。yxxy4）幂函数我们学习了可以发现这些函数的共同特征：幂的底数是自变量，211,yx yxyxx指数是常数。一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数。yxR可见，我们可以把上面的三个函数归为幂函数一类。幂函数性质：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过；0, 1,1如果，则幂函数的图象经过原点，并且在区间上是增函数；00,如果，则幂函数在区间上是减函数，在第一象限内，当从00,x右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上yyxx方无限逼近轴。x例题讲解：例题讲解：2221.xxxx一. 已知两

3、个函数f (x)= , g(x)= , 当x0 , (4 -2)b+10. b.=(4 -2)4或0,2222xxxxxxm解：（1）当时， f (-x)= 又 f (x)为奇函数f (-x)-f (x)= f (x) 222 (0) 0(0) (0)1,11,221aa21xx x x xmx xaa a (2)由（1）知f (x) 其图像这时可知f (x)在上单调递增，要使f (x)在区间上单调递增，只需，解得-31或13 (31)4 (1) log(1)aaxa x x x五可知f (x) 是（-，+ ）上的减函数，则a的取值范围是多少？ xlog0,(31)40(31)4 ,01310031011 314073axaxaaxaxaaaaa 解：当=1时，若为R 上的减函数，则在x0. 且af (x)(x1)(1)求f (x)的反函数f (x)和反函数的定义域 .（2）若 f ( )1由 1. 11)(1)求f (x)的定义域，值域。（2）判断f (x)的单调性（3）解不等式f (x -2)f (x) 0log (log1 1xxx aaaaaaaa 解：（1）

4、即 1x1u=在（-，1）上是减函数，是增函数函数f (x)在定义域（-，1）是减函数。22y1122log (log (log (log (log (xy axyx ax ax aaxaaaaaaaaaaaaaaaaaaQx -2x -2（3）设y=) 则 x=)f (x)的反函数为f (x) x (-x, 1)则f (x -2)f (x) 得 )f (x)a1 x -20且a1),当点p(x, y)是函数y=f (x)的图像上，点Q （x-2a, -y）是函数y=g(x)图像上的点。（1）写出函数y=g(x)的解析式。（2）若当x时，恒有f (x)g(x)1，试确定a的取值范围。 2,log (311log (23loglogaaaaxaaaaaQ解：（1）设点Q 的坐标为（x, y）,则x =x-2 , y =-y 即x= x y=-y p在函数y=)的图像上，-y =x) 即 y=, 所以g(x)xx2222221132203 1log (3loglog (43log (43432,3aaaaxaaaaxaxaxaaxaxaxaxaaa QQ（2）有题意： 0 a0 且a1 x02a. 故r(x)=在区间上为增函数 22minmax( )log (432,3( )log (44( )log (9601log (961log (44195 12aaaaau xxaxaaau xau xaaaa 函数)在区间上为减函数.从而=u(a+2)=), =u(a+3)=) 于是，所求问题转化为解方程组.),)综上，a的取值范围是0a

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