2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第2讲 函数的单调性与最大(小)值
6页第 2 讲 函数的单调性与最大(小)值一、选择题1下列函数中,既是偶函数又在(0,)内单调递减的函数是( )Ayx2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析 对于 C 中函数,当 x0 时,ylg x,故为(0,)上的减函数,且ylg |x|为偶函数答案 C2已知函数f(x)为 R 上的减函数,则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是( )A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(,1)(1,)解析 f(x)在 R 上为减函数且f(|x|)f(1),|x|1,解得x1 或x1.答案 D3若函数yax与y 在(0,)上都是减函数,则yax2bx在b x(0,)上是( )A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析 yax与y 在(0,)上都是减函数,b xa0,即 x2 时,f(x)0,则20)对于下列命题:函数 f(x)的最小值是1;函数 f(x)在 R 上是单调函数;若 f(x)0 在上恒成立,则 a 的取值范围是 a1;12,)对任意的 x10 在上恒成立,则 2a 10,a1,故正确;由图象可知12,)12在(,0)上对任意的 x10 且a1)的单调区间解 当a1 时,函数ya1x2在区间0,)上是减函数,在区间(,0上是增函数;当 0x12,则 f(x1)f(x2)x x x1x2(x1x2)a,2 1ax12 2ax2x1x2x1x2由 x2x12,得 x1x2(x1x2)16,x1x20.要使 f(x)在区间2,)上是增函数,只需 f(x1)f(x2)0 恒成立,则 a16.13已知函数 f(x)a2xb3x,其中常数 a,b 满足 ab0.(1)若 ab0,判断函数 f(x)的单调性;(2)若 abf(x)时的 x 的取值范围解 (1)当 a0,b0 时,因为 a2x,b3x都单调递增,所以函数 f(x)单调递增;当 a0.(i)当 a0 时,x,(32)a2b解得 xlog;32(a2b)(ii)当 a0,b0,1x1x20,即0.x2x11x2x1又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x11)0,x2x11x2x1,01.x2x11x2x1由题意,知 f0,即 f(x2)f(x1),(x2x11x1x2)f(x)在(0,1)上单调递减,又 f(x)为奇函数且 f(0)0,f(x)在(1,1)上单调递减.
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