2014届步步高大一轮复习讲义压轴题目突破练——解析几何

1、压轴题目突破练压轴题目突破练解析几何解析几何A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知两条直线 l1：yx，l2：axy0，其中 a 为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a 的取值范围是(0，12)( )A(0,1) B.(33， 3)C.(1，) D(1，)(33，1)33答案 C解析 直线 l1的倾斜角为 ，依题意 l2的倾斜角的取值范围为，即4(412，4) (4，412)，从而 l2的斜率 a 的取值范围为(1，)(6，4) (4，3)(33，1)32若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线 4x3y20 的距离等于 1，则半径r 的取值范围是( )A(4,6) B4,6)C(4,6 D4,6答案 A解析 因为圆心(3，5)到直线 4x3y20 的距离为5，|4 33 52|4232所以当半径 r4 时，圆上有 1 个点到直线 4x3y20 的距离等于 1，当半径 r6 时，圆上有 3 个点到直线 4x3y20 的距离等于 1，所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20 的距离等于 1 时，40，b0)与抛

2、物线 y28x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一x2a2y2b2个交点为 P，若|PF|5，则双曲线的渐近线方程为( )Ayx ByxCyx Dyx333222答案 A解析 设点 P(x0，y0)依题意得，焦点 F(2,0)，Error!于是有 x03，y 24；2 0Error!由此解得 a21，b23，因此该双曲线的渐近线方程是 y xx.ba34已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 C. D.172592答案 A解析 记抛物线 y22x 的焦点为 F，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的(12，0)距离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离因此所求的最小值等于，选 A.(12)222172二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5如果1 表示焦点在 y

3、轴上的双曲线，那么它的半焦距 c 的取值范围是x2k2y21k_答案 (1，)解析 将原方程化成标准方程为1.y2k1x2k2由题意知 k10 且 k20，解得 k2.又 a2k1，b2k2，所以 c2a2b22k31，所以 c1，故半焦距 c 的取值范围是(1，)6若点(3,1)是抛物线 y22px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则p_.答案 2解析 设弦两端点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Error!，两式相减得，2.y1y2x1x22py1y2又y1y22，p2.7已知抛物线 x24y 的焦点为 F，经过 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是_答案 23解析 由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值设以 AB 为直径的圆的半径为 r，则|AB|2r4，r2，且圆心到 x 轴的距离是 r1，所以在 x 轴上所截得的弦长为 222，即弦长的最小值是 2.r2r122r133三、解答题(共 22 分)8(10 分)已知椭圆 C

4、 的中心为坐标原点 O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A，B，且2.APPB(1)求椭圆的方程；(2)求 m 的取值范围解 (1)由题意，知椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为1(ab0)，y2a2x2b2由题意，知 a2，bc，又 a2b2c2，则 b，2所以椭圆方程为1.y24x22(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykxm，与椭圆方程联立，即Error!消去 y，得(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系，知Error!又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，APPB所以x12x2.则Error!所以22.m242k2(2mk2k2)整理，得(9m24)k282m2，又 9m240 时等式不成立，所以 k20，得 0.82m29m2449所以 m 的取值范围为.(2，23) (23，2)9(12 分)已知中心在原点的椭圆 C：1 的一个焦点为 F1(0,3

5、)，M(x,4)(x0)为椭圆x2a2y2b2C 上一点，MOF1的面积为 .32(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OM 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且以线段 AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解 (1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3)，所以 c3，b2a29，则椭圆 C 的方程为1，x2a2y2a29因为 x0，所以 SOMF1 3x ，解得 x1.1232故点 M 的坐标为(1,4)因为点 M(1,4)在椭圆上，所以1，1a216a29得 a48a290，解得 a29 或 a21(不合题意，舍去)，则 b29918，所以椭圆 C 的方程为1.x29y218(2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y4xm(因为直线 OM 的斜率 k4)，由Error!消去 y 化简，得 18x28mxm2180.进而得到 x1x2，x1x2.8m18m21818因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，所以 (8m)2418(m218)

6、0，化简得 m2b0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M，与 yx2a2y2b2轴的交点为 B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_答案 63解析 由题意知 A 点的坐标为(a,0)，设直线的方程为 yxa，B 点的坐标为(0，a)，故 M 点的坐标为，(a2，a2)代入椭圆方程得 a23b2，2a23c2，e.635已知曲线1 与直线 xy10 相交于 P、Q 两点，且0(O 为原点)，x2ay2bOPOQ则 的值为_1a1b答案 2解析 将 y1x 代入1，x2ay2b得(ba)x22ax(aab)0.由题意，知 ab.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2，x1x2.2aabaababx1x2y1y2x1x2(1x1)(1x2)OPOQ2x1x2(x1x2)1.所以10，2a2abab2aab即 2a2ab2aab0，即 ba2ab，所以 2.1a1b6设抛物线 y22x 的焦点为 F，过 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，则|AF|4|BF|的最小值为_答案 92解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|

7、4|BF|x1 4x1 4x14x2 ，设直线 AB 的方程为p2(x2p2)12(x212)52kyx ，联立抛物线方程得方程组Error!消元整理得 y22ky10，由根与系数的关12系可得 y1y21，又 A，B 在抛物线上，代入方程得 y y 2x12x24x1x21，即2 1 2 2x1x2 ，因此根据基本不等式|AF|4|BF|x14x2 2 2 ，当1452x1 4x2525292且仅当 x14x2时取得最小值 .92三、解答题7(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中，如图所示，已知椭圆1 的x29y25左，右顶点分别为 A，B，右焦点为 F.设过点 T(t，m)的直线 TA，TB与此椭圆分别交于点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中 m0，y10，y20，y20，得 M，N.(2，53)(13，209)则直线 MA 的方程为，即 x3y30y0530x323直线 NB 的方程为，即 5x6y150.y02090x3133联立方程Error!解得 x7，y，103所以点 T 的坐标为.(7，103)(3)证明 如图所示，点 T 的坐标为(9，m)直线 TA 的方程为，y0m0x393直线 TB 的方程为，y0m0x393分别与椭圆1 联立方程，x29y25解得 M，(380m280m2，40m80m2)N.(3m22020m2，20m20m2)直线 MN 的方程为.y20m20m240m80m220m20m2x3m22020m2380m280m23m22020m2令 y0，解得 x1，所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点(1,0)

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