本科毕业论文《正定次型与不等式》

1、 I 摘摘 要要以正定二次型与半正定二次型理论为基础 , 证明了若干二次齐次代数不等式或加权不等式、矩阵或行列式不等式 , 以及几何不等式, 包括国内外的一些数学奥林匹克试题. 关键词: 矩阵; 二次型; 正定; 半正定; 不等式II AbstractBased on the theory of positive definite quadratic and semi-positive quadratic, we prove some second homogeneous algebra inequality or weighted inequality, matrix or determinant inequality, and geometric inequality, which includes two domestic and international mathemat-ical Olympiad questions.Key words: matrix ; quadratic ; positive definite; semi-positive definite quadr

2、atic; inequ-ality目 录摘 要.IAbstract .II0 引言.11 正定二次型及半正定二次型的定义和性质.12 若干代数不等式.23 几个矩阵(或行列式)不等式.64 两个几何不等式.10参考文献.13第 1 页, 共 13 页0 引言二次型理论作为线性代数中的基础知识13, 其应用非常广泛. 而且二次型的理论在数学的其他分支及物理、力学、工程技术中也常常用到 . 另一方面, 不等式作为一个极具魅力的领域, 对其研究也是一直长盛不衰 , 除了一些不等式研究成果大量涌现外 , 一些新的证明不等式的方法不时面世 . 文46是这方面的一个真实写照. 本文主要讨论如何利用二次型的正定性或半正定性证明有关代数的、或几何的不等式, 也是对如何利用高等数学中的观点和方法来研究初等数学问题作 一个尝试. 1 正定二次型及半正定二次型的定义和性质为方便起见, 首先给出二次型的相关概念及性质, 这些性质的证明均可见7. 定义 数域上的 元二次齐次多项式Pn12 11( ,)nnnijij ijf x xxa x xL称为数域上的一个 元二次型. 在不致引起混淆时简称二次型.(, ,1

3、, 2,)ijjiaai jnLPn当是实数域时, 二次型称为实二次型. 对于一个 元实二次型P12(,)nf x xxLn, 如果对任意不全为零的实数都有, 则称12(,)nf x xxL12,ncccL12(,)0nf cccL为正定二次型. 如果对任意实数都有, 则称12(,)nf x xxL12,ncccL12( ,)0nf c ccL为半正定二次型.12(,)nf x xxL如果记, . 则二次型可简单地表示为()ijn nAa12(,)nXx xxL12(,)nf x xxL,12(,)nf x xxX AXL其中, 对称矩阵称为二次型的矩阵, 当实二次型正定(或A12(,)nf x xxL12(,)nf x xxL半正定)时, 也称实对称矩阵正定(或半正定). A定理1 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是: 矩阵的顺序主子式全大于零 nAA定理2 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是: 矩阵的特征值全大于零 nAA第 2 页, 共 13 页定理3 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是: 存在 级实可逆矩阵, 使得nAnPPPA以上三个定理在任何一本高等代数教材中都可以见到 .关于实

4、二次型半正定性的判定有如下等价条件2.定理4 设是阶实对称矩阵, 则下列条件等价: An() 是半正定的; A() 合同于;A0 00rE () 存在实可逆矩阵, 使, 其中, ;C12diag,nC ACd ddL0 (1, 2,)idinL() 的所有主子式非负, 且至少有一个主子式为零 ; A() 的所有特征值非负, 且至少有一个特征值为零.A2 若干代数不等式由于二次型的正定性半正定性都是以不等式形式出现的, 因而二次型在不等式的证明中应该有其用武之地. 这里将用二次型的半正定性证明若干代数不等式. 例 2.1 设, 证明 , ,a b c. (1)222abcabbcca证明 设, 则是一个实二次型, 其矩222( , , )f a b cabcabbcca( , , )f a b c阵.11122 11122 11122A 因为矩阵的一阶主子式, 二阶主子式A10第 3 页, 共 13 页,113201412 且, 所以是半正定的, 从而由定理 4()可得二次型半正定, 故不等0A A( , , )f a b c式(1)成立.诚然, 这种证法并不比通常所用的初等数学证法简单

5、, 但它却提供了证明二次齐式不等式的一种全新思路. 使用这种方法一般是先从结论出发构造一个相应的二次型, 写出二次型的矩阵, 然后用有关定理判断该二次型的矩阵正定或半正定, 从而得到不等式.例 2.2 证明: 对任意个实数, 有不等式n12,nxxxL. (2)2211()nnii iinxx证明 设,22 12 11(,)()nnnii iif x xxnxxL则是一个实二次型, 易知二次型的矩阵为12(,)nf x xxL12(,)nf x xxL.111 111111n nAn L L MMOM L将矩阵 的第列分别加到第 1 列, 再将第行减去第 1 行, 得A2,3, nL2 3, nL，.A01100000nn LLMM OM于是矩阵的特征值为 , 因而为半正定矩阵, 由定理 4()可知，二次A10, ,nnnL1 4 2 4 3A型是半正定的, 从而. 这就证明了不等式(2). 12(,)nf x xxL12(,)0nf xxxL例 2.3 设, , , , , 皆为实数. 求证: 不等式1p2p3p1q2q3q(3)222 123123p xp yp zq yzq zx

6、q xy第 4 页, 共 13 页对任意实数成立的充要条件是, ,x y z,.10p20p30p2 2314p pq2 3124p pq2 1234p pq且.222 1 122331231234p qp qp qq q qp p p证明 设二次型,222 123123( , , )f x y zp xp yp zq yzq zxq xy则其矩阵为.13232121311 22 11 22 11 22pqqAqpqqqp 因为对任意实数, 等价于半正定; 又半正定等价于的所有, ,x y z( , )0f x y zAAA主子式皆非负. 而的三个一阶主子式分别为 、, 三个二阶主子式分别为A1p2p3p, 13 2 123321 12 14 2pq p pq qp ,21 2 231131 12 14 2pq p pq qp ,12 2 312231 12 14 2pq p pq qp 其三阶主子式即.222 1231 122331234Ap p pp qp qp qq q q故不等式(3)对任意实数成立的充要条件是, ,x y z,.10p20p30p2 2314p pq2 312

7、4p pq2 1234p pq第 5 页, 共 13 页且.222 1 122331231234p qp qp qq q qp p p例 2.3 是文8证明的一个主要不等式, 但其证明过程十分冗繁. 而这里用半正定二次型理论给出的证明则十分简捷. 例 2.4 证明不等式(4)()()()()()()0A xy xzB yzyxC zx zy对任意的成立的充要条件是, ,x y z, , , .0A0B0C2222()ABBCCAABC证明 设二次型,( , )()()()()()()f x y zA xy xzB yzyxC zx zy展开, 整理, 得.222( , )()()()f x y zAxByCzABC yzBAC zxCAB xy记, , , , ,1pA2pB3pC1qBCA2qACB3qABC则不难知道.222222 1232313124442()()p pqp pqp pqABBCCAABC又容易验证.222 1231 1223312340p p pp qp qp qq q q故由例2.3 的结论即知不等式(4)对任意的成立的充要条件是, ,x y z, , , .0A0B0C2222()ABBCCAABC例 2.4 是准备参加第 29 届国际中学生数学竞赛(IMO)中国国家队选拔考试题.例 2.5 证明: 对任意, 有不等式, ,a b c. (5)222 332222()2()3()()abcabbccaabcab

《本科毕业论文《正定次型与不等式》》由会员206****923分享，可在线阅读，更多相关《本科毕业论文《正定次型与不等式》》请在金锄头文库上搜索。