普通高等学校招生全国统考试数学试卷分类汇编函数的综合应用

1、 25第二章第二章 函数函数四四 函数的综合应用函数的综合应用 【考点阐述】 函数的综合应用 【考试要求】 应用函数知识思想解决一些简单的实际问题。 【考题分类】 （一）选择题（共（一）选择题（共 5 5 题）题）1. 1.（江西卷理（江西卷理 12 文文 12 12） 已知函数，若对于任一2( )22(4)1f xmxm x( )g xmx实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是x( )f x( )g xmA B C D (0,2)(0,8)(2,8)(,0)解：当时，显然不成立0m 当时，因当即时结论显然成立；0m (0)10f 4022bm a04m当时只要即可4022bm a24(4)84(8)(2)0mmmm 即，则，选48m08mB2. 2.（全国（全国卷理卷理 2 文文 2 2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间 的函数，其图像可能是（ ）ststOAstOstOstOBCD解：A 根据汽车加速行驶，匀速行驶，减速行驶21 2satsvt结合函数图像可知；21 2sat 3.3.（山东卷理（山东卷理 3 文文 3

2、3）函数 ylncosx(-x的图象是2)226解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。是偶函数，可排lncos ()22yxx除 B、D，由排除 C,选 A.cos1lncos0xx 4. 4.（陕西卷理（陕西卷理 11）定义在上的函数满足（R( )f x()( )( )2f xyf xf yxy） ，则等于（ ）xyR，(1)2f( 3)f A2 B3 C6 D9解：令，令；0(0)0xyf1(2)2 (1)26xyff 令，再令得2,1(3)(2)(1)412xyfff 3,3xy 0(33)(3)( 3) 18( 3)18(3)6fffff5. 5.（陕西卷文（陕西卷文 11）定义在上的函数满足（R( )f x()( )( )2f xyf xf yxy） ，则等于（ ）xyR，(1)2f( 2)f A2 B3 C6 D9解：令，令；0(0)0xyf1(2)2 (1)26xyff 令得2,2xy 0(22)(2)( 2)8( 2)8(2)862fffff（二）填空题（共（二）填空题（共 3 3 题）题）1. 1.（湖北卷文（湖北卷文 13）方程的实数解的个数为 .223xx解：画

3、出与的图象有两个交点，故方程2xy23yx的实数解的个数为 2 个。223xx2. 2.（上海卷理（上海卷理 11）方程 x2+x10 的解可视为函数 yx+的图像与函数 y 的图像交221x点的横坐标，若 x4+ax40 的各个实根 x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi , )4xi（i1,2,k）均在直线 yx 的同侧，则实数 a 的取值范围是 【答案】(, 6)(6,) U【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线0x 34xax 与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下3yxa4yx3yxa3yx27平移个单位而得到的。若交点(xi , )（i1,2,k）均在直线 yx 的同侧，因直线| | a4xiyx 与交点为：；所以结合图象可得：4yx( 2, 2),(2,2)；33002 2 (, 6)(6,)22aaxaxaaxx U或3.3.（浙江卷理（浙江卷理 15）已知 t 为常数，函数在区间0，3上的最大值为 2，则txxy22t=_。解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间0，3上1,x x的最大值为 2，知解得检验时,

4、不符,max(3)32,yft15,t 或5t (0)52f而时满足题意.1t （三）解答题（共（三）解答题（共 3 3 题）题）1. 1.（广东卷理（广东卷理 19 19）设，函数，kR111( ) 11xxf x xx ，( )( )F xf xkxxR试讨论函数的单调性( )F x【解析】1,1,1( )( )1,1,kxxxF xf xkxxkxx 21,1,(1)( )1,1,21kxxF x kxx 对于，1( )(1)1F xkx xx当时，函数在上是增函数；0k ( )F x(,1)当时，函数在上是减函数，在上是增函数；0k ( )F x1(,1)k1(1,1)k对于，1( )(1)21F xk xx 当时，函数在上是减函数；0k ( )F x1,当时，函数在上是减函数，在上是增函数。0k ( )F x211,14k211,4k282. 2.（江苏卷（江苏卷 18 18）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与xoy2( )2()f xxxb xR坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C。（1）求实数的取值范围；b （2 2）求圆的方程；问圆是否经过某定点（其坐标与无

5、关）？请证明你的结论CCb 解：解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法 （）令0，得抛物线与轴交点是（0，b） ；xy令，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0 220f xxxb（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF令0 得这与0 是同一个方程，故 D2，Fy20xDxF22xxbb令0 得0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1x2yEy所以圆 C 的方程为.222(1)0xyxbyb（）圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点 ，将该点的坐标代入圆 C 的方程，0000(,)(,)xyxyb不依赖于并变形为 （*）22 000002(1)0xyxyby为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，1(0)bbb010y结合（*）式得，解得22 000020xyxy00000211xxyy ，或，经检验知，点均在圆 C 上，因此圆 C 过定点。(0,1),( 2,0)3.3.（上海春卷（上海春卷 19 19）已知函数.2( )log21xf x （1）求证：函数在内单调递增；( )f x(,) （2）记为函数的反函数. 若关于的方程在上有1( )fx( )f xx1( )( )fxmf x1, 2解，求的取值范围.m证明（1）任取，则12xx，11221222221()()log21log21log21x xx xf xf x，12 12,02121xxxx Q29，11222212101,log02121xxxx，即函数在内单调递增. 6 分12()()f xf x( )f x(,) 解（2）， 9 分1 2( )log21 (0)xfxxQ解法一 1( )( )mfxf x22log21log21xx， 11 分22212loglog12121xxx当时， 12x222123,152133215xx 的取值范围是. 14 分m2213log, log35解法二 解方程，得22log21log21xxm， 11 分221log1 2mmx，22112,1log21 2mmxQ解得 . 2213loglog35m的取值范围是. 14m2213log, log35分

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