1991年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试题及参考答案
17页1、1991991 1 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学(一一)试题)试题一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 设21,cos ,xtyt 则22d y dx=_.(2) 由 方程2222xyzxyz所 确定 的 函数( , )zz x y在 点(1,0, 1)处 的全 微 分dz=_.(3) 已知两条直线的方程是1123:101xyzL;221:211xyzL,则过1L且平行于2L的平面方程是_.(4) 已知当0x 时,1 23(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5) 设 4 阶方阵5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ,则A的逆阵1A=_.二、选择题二、选择题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 曲线2211xxey e ()(A) 没有渐近线(B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(2) 若连续函数( )f x满足关系式20( )ln22xt
2、f xfdt,则( )f x等于()(A)ln2xe(B)2ln2xe(C)ln2xe (D)2ln2xe(3) 已知级数11( 1)2n n na ,21 15n na ,则级数1n na等于()(A) 3(B) 7(C) 8(D) 9(4) 设D是xOy平面上以(1,1)、 (-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D是D在第一象限的部分,则(cos sin )Dxyxy dxdy等于()(A)12cos sinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cos sin )Dxyxy dxdy(D) 0(5) 设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有() (A)ACBE(B)CBAE (C)BACE(D)BCAE三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).)(1) 求 0lim(cos)xxx.(2) 设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数.(3)22()xyz dV,其中是由曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平
3、面4z 所围成的立体.四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )在过点(0,0)O和( ,0)A的曲线族sin (0)yax a中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A的积分3(1)(2) Ly dxxy dy的值最小.五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).)将函数( )2 |( 11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数2 11nn的和.六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).)设函数( )f x在0,1上连续,(0,1)内可导,且12 33( )(0)f x dxf,证明在(0,1)内存在一点c,使( )0fc.七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).)已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1, 1,2,1)a,4(1,2,4,8)a,及(1,1,3,5)b.(1)a、b为何值时,不能表示成1234、的线性组合?(2)a、b为何值时,有1234、的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设A为n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于 1.九、九、( (本题满分
4、本题满分 8 8 分分) )在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( , )P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 若随机变量X服从均值为 2,方差为2的正态分布,且240.3PX,则0P X =_.(2) 随机地向半圆202yaxx(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为_.十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设二维随机变量(, )X Y的概率密度为(2 )2, 0,0( , )0, xyexyf x y 其他,求随机变量2ZXY的分布函数.1991991 1 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学(一一)试题参考答案及)试题参考答案及解析解析一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1)【答案】3sincos
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