2002年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试题及参考答案
14页1、第 1 页 共 14 页20022002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)exxdx2ln= _.(2)已知2e610yxyx ,则(0)y=_.(3)02 yyy满足初始条件1(0)1,(0)2yy的特解是_.(4)已知实二次型3231212 32 22 1321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型2 16yf ,则a=_.(5) 设 随 机 变 量),(2NX, 且 二 次 方 程042Xyy无 实 根 的 概 率 为 0.5, 则=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目只有一个符合题目 要求要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(yxf的四条性质:(),(yxf在点),
2、(00yx处连续, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续,),(yxf在点),(00yx处可微, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在.则有:(A)(B) (C)(D)(2)设0nu,且1lim nnun,则级数)11() 1(11 nnn uu为()(A)发散(B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(xf在R上有界且可导,则()(A)当0)(lim xf x时,必有0)(lim xf x(B)当)(limxf x 存在时,必有0)(lim xf x第 2 页 共 14 页(C) 当0)(lim 0 xf x时,必有0)(lim 0 xf x(D) 当)(lim 0xf x 存在时,必有0)(lim 0 xf x.(4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa(3 , 2 , 1i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY,分布函数分别为)(xFX和)(yFY,则(A)(xfX)(yfY必为密度函数(B
3、)(xfX)(yfY必为密度函数(C)(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数(D)(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数.四、四、(本题满分本题满分 7 分分)已知两曲线)(xfy 与2arctan0extydt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(limnnf n.第 3 页 共 14 页五、五、(本题满分本题满分 7 分分)计算二重积分22max,exyDdxdy,其中10 , 10| ),(yxyxD.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数)(xf在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线,起点为(ba,),终点为(dc,).记dyxyfyyxdxxyfyyI 1)()(1 12 22,(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当cdab 时,求I的值.第 4 页 共 14 页七、七、(本题满分本题满分 7 分分)(1)验证函数03)!3()(nnnxxy(x)满足微分方程exyyy.(2)求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数.八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所
4、在 的 平 面 为xoy面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为75| ),(22xyyxyxD,小山的高度函数为),(yxhxyyx2275.(1)设),(00yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00yxg,写出),(00yxg的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(yxg达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.第 5 页 共 14 页九、九、(本题满分本题满分 6 分分)已知四阶方阵1234(,)A ,1234, 均为四维列向量,其中234, 线性无关,1232.若1234,求线性方程组x A的通解.十、十、(本题满分本题满分 8 分分)设,A B为同阶方阵,(1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.第 6 页 共 14 页十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分)设维随机变量X的概率密度为( )f x 1c
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