1990年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

1、11991990 0 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 过点(1,2, 1)M且与直线2341xtytzt 垂直的平面方程是.(2) 设a为非零常数,则lim()x xxa xa =.(3) 设函数1, | 1,( )0, | 1,xf xx则 ( )f f x=.(4) 积分2220yxdxedy的值等于.(5) 已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量的秩是.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 设( )f x是连续函数,且( )( )xexF xf t dt ,则( )F x等于( () )(A)()( )xxef ef x(B)()( )xxef ef x(C)()( )xxef ef x(D)()( )xxef e

2、f x(2) 已知函数( )f x具有任意阶导数,且2( ) ( )fxf x,则当n为大于 2 的正整数时,( )f x的n阶导数( )( )nfx是( () )(A)1! ( )nnf x(B)1 ( )nn f x(C)2 ( )nf x(D)2! ( )nnf x(3) 设为常数,则级数2 1sin1()nn nn( () )(A) 绝对收敛(B) 条件收敛 (C) 发散(D) 收敛性与的取值有关(4) 已知( )f x在0x 的某个领域内连续,且(0)0f, 0( )lim21 cosxf x x,则在点0x 处( )f x( () )2(A) 不可导(B) 可导,且(0)0f (C) 取得极大值(D) 取得极小值(5) 已知1、2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解,1、2是对应齐次线性方程组0Ax 的基础解系,12,k k为任意常数,则方程组Axb的通解(一般解)必是( () )(A)12 11212()2kk(B)12 11212()2kk(C)12 11212()2kk(D)12 11212()2kk三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题

3、5 5 分分.).)(1) 求120ln(1) (2)xdxx .(2) 设(2, sin )zfxy yx,其中( , )f u v具有连续的二阶偏导数,求2zx y .(3) 求微分方程244xyyye的通解(一般解).解：特征方程为2440rr+=的跟为1,22r= -.对应齐次方程的通解为()2 12exYCC x-=+，其12CC，中为任意常数.设原方程的特解为( )22exyxAx*-=，代入原方程得1 2A=.因此，原方程的通解为( )()2 22 12ee.2xxxy xYyCC x*-=+=+3四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)求幂级数0(21)nnnx的收敛域,并求其和函数.五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )求曲面积分2,SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z 的部分.六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设不恒为常数的函数( )f x在闭区间 , a b上连续,在开区间( , )a b内可导,且( )( )f af b.证明在( , )a b内至少存在一点,使得( )0f.4七、七、( (本题满分

4、本题满分 6 6 分分) ) 设四阶矩阵1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B ,2 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C ,且矩阵A满足关系式1()TTA EC BCE,其中E为四阶单位矩阵,1C表示C的逆矩阵,TC表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.解：因11()()= ()TTTTA EC BCA C EC BA CB，故() =TA CBE，因此1000100021002100()3210121043210121TACB -1-1=，八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )求一个正交变换,化二次型222 12312132344448fxxxx xx xx x为标准形.5九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于2,求变力F对质点P所作的功.( , )P x yxOy(1,2)AF(3,4)B十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6

5、 分分, ,每小题每小题 2 2 分分.).)(1) 已知随机变量X的概率密度函数| |1( ),2xf xex ,则X的概率分布函数()F X .(2) 设随机事件A、B及其和事件AB的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件,6那么积事件AB的概率()P AB .(3) 已知离散型随机变量X服从参数为 2 的泊松(Poisson)分布,即22,!ke P Xkk 0,1,2k ,则随机变量32ZX的数学期望( )E Z .十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)设二维随机变量(, )X Y在区域:01,|Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差( )D Z.1991990 0 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学（一）试题参考答案及解析1990 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析数学一试题解析 一、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。） （1）过点(1,2, 1)M且与直线234 1xtyt zt 垂直的平面方程

6、是 _。 【答案】340.xyz 【解析】由直线的参数方程，可得直线的方向向量( 1,3,1)l ， 所求平面的法向量n平行于所给直线的方向向量( 1,3,1)l ，取nl，又平面过已知点(1,2, 1)M.已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为(1)3(2)(1)0,xyz化简即是340.xyz （2）设a为非零常数，则lim()x xxa xa = _。 【答案】2ae. 【解析】此题考查重要极限：1lim(1).xxex (1) lim()lim (1)xxxxxa xax axa x(1) lim (1)xaaxxaaa x a x 2a a aeee. 或由2222lim()lim 1x axaa x axaxxxaaexaxa. （3）设函数1, | 1,( )0, | 1,xf xx则 ( )f f x= _。 【答案】1. 【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式. 根据( )f x的定义知，当| 1x 时，有( )1.f x 代入 ( )f f x，又(1)1.f于是当| 1x 时，复

7、合函数 ( )1f f x； 当| 1x 时，有( )0.f x 代入 ( )f f x，又(0)1,f即当| 1x 时，也有 ( )1f f x. 因此，对任意的(,)x ，有 ( )1f f x. （4）积分2220yxdxedy的值等于 _。 【答案】41(1).2e 【解析】这是一个二重积分的累次积分，因2ye的原函数不是初等函数，先对y积分积不出来，所以应该改换积分次序，先表成： 原式2.yDedxdy由累次积分的内外层积分限确定积分区域D： 02,2,xxy如图所示，然后交换积分次序. 原式2222000yyydyedxyedy24211(1).022yee （5）已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)，则该向量的秩是_。 【答案】2. 【解析】经过初等变换后向量组的秩不变. 所以有 12341234 2345 3456 4567A 第一行1r分别乘以2、3、4加到第二行、第三行、第四行上，得到 2 x y Oyx 2 D 1234 0123A0246 0369 继续作初等变换第二行2r分别乘以2、3加到第三行、第四

8、行上，再自乘1有 1234 0123A0000 0000 因为最后得出的矩阵有二阶子式0，而三阶子式0，由矩阵秩的定义，有 1234,( )2.rr A 所以此题应填 2. 二、选择题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分。） （1）设( )f x是连续函数，且2( ) ( )fxf x，则等于 (A) ()( )xxef ef x (B) ()( )xxef ef x (C) ()( )xxef ef x (D) ()( )xxef ef x 【答案】A. 【解析】对积分上限的函数的求导公式： 若( )( )( )( )ttF tf x dx，( ) t，( ) t均一阶可导， 则( )( )( )( )( )F ttfttft. 复合函数求导法则， 如果( )ug x在点x可导，而( )yf x在点( )ug x可导，则复合函数 ( )yf g x在点x可导，且其导数为 ( )( )dyfug xdx 或 dydy du dxdu dx 所以两边求导数, ( )()()( )( )xxF xf eef x x ()( ).xxef ef x 故本题选 A. （2）已知函数( )f x具有任意阶导数，且2( ) ( )fxf x，则当n为大于 2 的正整数时，( )f x的n阶导数( )nfx是 (A) 1! ( )nnf x(B) 1 ( )nn f x(C) 2 ( )nf x (D) 2! ( )nnf x 【答案】A. 【解析】本题考查高阶导数的求法. 为方便记( )yf x.由2 yy，逐次求

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