2008年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试题及参考答案
19页1、第 1 页 共 19 页2008 年年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学(一)试题数学(一)试题(含(含参考答案参考答案)一一、选择题选择题:(本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分. 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项符合题只有一项符合题 目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数20( )ln(2)xf xt dt,则( )fx的零点个数为()(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3【答案答案】应选(B).【详解详解】22( )ln(2) 22 ln(2)fxxxxx显然( )fx在区间(,) 上连续,且( 1)(1)( 2ln3) (2ln3)0ff ,由零点定理,知( )fx至少有一个零点又2 2 24( )2ln(2)02xfxxx,恒大于零,所以( )fx在(,) 上是单调递增的又因为(0)0f ,根据其单调性可知,( )fx至多有一个零点故( )fx有且只有一个零点故应选(B).(2)函数( , )arctanxf x yy在
2、点(0,1)处的梯度等于()(A)i(B)i.(C)j.(D)j.【答案答案】 应选(A).【详解详解】因为222211fyy xxxy y222221x fxy xyxy y所以(0,1)1f x,(0,1)0f y,于是(0,1)( , )igradf x y.故应选(A).第 2 页 共 19 页(3)在下列微分方程中,以123cos2sin2xyC eCxCx(123,C C C为任意的常数)为通解的是()(A)440yyyy.(B)440yyyy.(C)440yyyy.(D)440yyyy.【答案答案】 应选(D).【详解详解】由123cos2sin2xyC eCxCx,可知其特征根为,可知其特征根为11 ,2,32i ,故对应的特征值方程为2(1)(2 )(2 )(1)(4)ii3244 3244 所以所求微分方程为440yyyy 应选(D).(4)设函数( )f x在(,) 内单调有界,nx为数列,下列命题正确的是() (A) 若nx收敛,则 ()nf x收敛(B) 若nx单调,则 ()nf x收敛(C) 若 ()nf x收敛,则nx收敛.(D) 若 ()nf x单调,则
3、nx收敛.【答案答案】 应选(B).【详解】若nx单调,则由函数( )f x在(,) 内单调有界知,若 ()nf x单调有界,因此若 ()nf x收敛故应选(B).(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵若30A ,则()则下列结论正确的是:(A)EA不可逆,则EA不可逆.(B)EA不可逆,则EA可逆. (C)EA可逆,则EA可逆.(D)EA可逆,则EA不可逆.【答案答案】应选(C). 【详解详解】故应选(C).23()()EA EAAEAE,23()()EA EAAEAE故EA,EA均可逆故应选(C).第 3 页 共 19 页(6)设A为 3 阶实对称矩阵,如果二次曲面方程1xxyz A yz 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为()(A)0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.【答案答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为222221xyz ac 故A的正特征值个数为 1故应选(B).(7) 设随机变量,X Y独立同分布且X的分布函数为( )F x,则max, ZX Y 的分布函数为()(A)2( )Fx.(B)( ) ( )F
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