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理论力学课后习题详解-第12章-动能定理

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  • 卖家[上传人]:杨****
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  • 上传时间:2018-03-28
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    • 1、 174第 13 章 动能定理 第 13 章 动能定理 13-1 如图 13-1a 所示,圆盘的半径 r = 0.5 m,可绕水平轴 O 转动。在绕过圆盘的绳上 吊有两物块 A、B,质量分别为 mA = 3 kg,mB = 2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作 用 1 力偶, 力偶矩按4=M的规律变化 (M 以mN计,以 rad 计) 。 求由20=到 时,力偶 M 与物块 A,B 重力所作的功之总和。 OrMgAmgBm(a) (b) 图 13-1 解解 轴承处约束力(图 13-1b 中未画出)为理想约束力,不做功。做功的力和力偶矩有 M,mAg,mBg: ()J 110J 5 . 028 . 9182)(82)(d40222=+=+=+=rgmmrgmmWBABA13-2 如图 13-2a 所示, 用跨过滑轮的绳子牵引质量为 2 kg 的滑块 A 沿倾角为30的光 滑斜槽运动。设绳子拉力 F = 20 N。计算滑块由位置 A 至位置 B 时,重力与拉力 F 所作的 总功。 60gmAB45m6FD(a) (b) 图 13-2 解解 在图 13-b 中,理想约束力未画出。做功力

      2、有 F,mg。 J 29. 6J 536. 2218 . 92557. 12060cosm 56. 1m )3121(12)231221(660sin6 45sin6m, 54. 2m )311 (660cot645cot6= = = =ABADADABlmglFWlBCDCl13-3 图 13-3a 所示坦克的履带质量为 m,两个车轮的质量均为 m1。车轮被看成均质圆 盘,半径为 R,两车轮间的距离为R。设坦克前进速度为 v,计算此质点系的动能。 解解 系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为 4 部分,如图 13-3b 所示。履 带动能: 175IVIIIIII2 21TTTTvmTii+=履DABCIIIIIvI0=vIVv2(a) (b) 图 13-3 由于vvv2, 0IV1=,且由于每部分履带长度均为R,因此 222 IVIVIV2 IIIIVIIIIII2)2(421 210214vmvmvmTvmTmmmmm=II、III 段可合并看作 1 滚环,其质量为2m,转动惯量为2 2RmJ=,质心速度为 v,角速度为Rv=,则 2222 22 22 22 IIIII22

      3、02221 421 221mvvmvmTvm RvRmmvJvmTT=+=+=+=+履轮动能 2 122 2121 123 221 222vmRvRmvmTT= +=轮轮则系统动能 2 12 23vmmvTTT+=+=轮履13-4 长为 l, 质量为 m 的均质杆 OA 以球铰链 O 固定, 并以等角速度绕铅直线转动, 如图 13-4a 所示。如杆与铅直线的交角为,求杆的动能。 Agmszr sdmdO(a) (b) 图 13-4 解解 由刚体绕定轴转动的动能,得杆的动能 2 21zJT = 其中(图 13-4b) 176图 13-6 =mrJzd22222 sin3dsin 0mlslmsl= 代入上式得 222sin6lmT = 13-5 自动弹射器如图 13-5a 放置,弹簧在未受力时的长度为 200 mm,恰好等于筒长。 欲使弹簧改变 10 mm,需力 2 N。如弹簧被压缩到 100 mm,然后让质量为 30 g 的小球自弹 射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。 30gmkFNF(a) (b) 图 13-5 解解 由题意得弹簧的刚度系数 N/m 200m01. 0N2=l

      4、Fk 弹射过程中,弹性力功 J 1J )01 . 0(20021)(2122 12 01= =kW 重力功 J 0147. 01 . 02 . 030sin2=mgW 动能 22 2103. 021 210vmvTT=由动能定理知 1221TTWW=+ 将有关量代入 ,得 0kg03. 021J7014. 0J12=v v = 8.1 m/s 13-6 如图13-6所示冲床冲压工件时冲头受的平均工作阻力F = 52 kN, 工作行程s = 10 mm。飞轮的转动惯量2mkg 40=J,转速 n = 415 r/min。假定冲压工件所需的全部能量都 由飞轮供给,计算冲压结束后飞轮的转速。 解解 由质点系动能定理 T2 - T1 = W12 (1) 且 FsWJTJT2121122 222 11=有关数据代入式(1) ,得 177322 21010000152)415602(40214021= 解得 rad/s 1 .432= 故 r/min 412r/min 1 .4330 302=n 13-7 平面机构由 2 匀质杆 AB,BO 组成,2 杆的质量均为 m,长度均为 l,在铅垂平 面内

      5、运动。在杆 AB 上作用 1 不变的力偶矩 M,从图 13-7a 所示位置由静止开始运动。不计 摩擦,求当杆端 A 即将碰到铰支座 O 时杆端 A 的速度。 BvAPAB OOBAvBBvAvAPCvCBABOBO(a) (b) (c) 图 13-7 解解 杆 OB 作定轴转动,杆 AB 作平面运动。由图 13-7b 中杆 AB 瞬心 P 和点 B 速度, 得 =OBAB(转向如图 13-7b) (1) lvB=,=cos2lvA (2) 当 A 即将碰 O 时,BABvv/, 0=(图 13-7c) ,由式(2)得 lvvBA22=,lvC23=(图 13-7c) (3) 外力做功 )cos1 (2212=lmgMW 动能 22222222222 2131 34 31 21 121 21)23(2121 21 210AOCCmvmlmlmllmJJmvTTTT=+=+=+=OBAB动能定理: 1212WTT= 得 )cos1 ( 312=mglMmvA )cos1 ( 3=mglMmvA 讨论:可能出现的解答错误是认为 A 即将碰 O 时,A,B 两点速度平行而误认为杆 AB 作瞬时

      6、平移,从而将系统动能算错。 13-8 链条全长 l = 1 m,单位长度质量为kg/m 2=,悬挂在半径为 R = 0.1 m,质量 m = 1 kg 的滑轮上,在图 13-8a 所示位置自静止开始下落(给以初始扰动) 。设链条与滑轮 无相对滑动,滑轮为均质圆盘,求链条离开滑轮时的速度。 解解 链条、滑轮整个系统在运动过程中机械能守恒。以 II 线为零势能位置,轴 x 向178图 13-8 下为正,初始瞬时 T1 = 0 CglxV=1其中链条的质心坐标 yC确定如下: 链条弯曲部分的质心坐标 2 sind01R RRR x= =链条垂直部分的质心坐标 42Rlx= )(8414)(222RlRllRlRlRR xC+=+ =链条离开滑轮的瞬时: 2 2222 221)(21(21 21glVRvmRlvT=+=代入 T1+V1=T2+V2 得 22222 21 41 21)(8410glmvlvRlRlgl+=+ mlRlRggl v+ + =2)(84214222 mlgRlRl += 2)(82222mlRRlg += 2)4(2)(222代入数据算得 v = 2.51 m/s

      7、13-9 在图 13-9a 所示滑轮组中悬挂 2 个重物,其中 M1的质量为 m1,M2的质量为 m2。 定滑轮 O1的半径为 r1,质量为 m3;动滑轮 O2的半径为 r2,质量为 m4。2 轮都视为均质圆 盘。如绳重和摩擦略去不计,并设4122mmm。求重物 m2由静止下降距离 h 时的速度。 g1mg2mg4mg3m1O2O(a) (b) 图 13-9 解解 整个系统为对象,由题意4122mmm知,M2由静止向下运动,可应用动能定I I 179理确定 M2的速度。设 M2下降 h 距离时的速度为 v,则动滑轮 O2的角速度 22rv= 定滑轮 O1的角速度 112 rv= 根据动能定理 W1 2=T2-T1 即 212 12 132 22 24242 142)2(24422vmrmrmvmmghmghmghm+=+ 故 4312412 3482)2(4 mmmmmmmghv+= 13-10 2 个质量均为 m2的物体用绳连接,此绳跨过滑轮 O,如图 13-10 所示。在左方 物体上放有 1 带孔的薄圆板,而在右方物体上放有 2 个相同的圆板,圆板的质量均为 m1。 此质点系由静止

      8、开始运动,当右方物体和圆板落下距离 x1时,重物通过 1 固定圆环板,而 其上质量为 2m1的薄板则被搁住。摩擦和滑轮质量不计。如该重物继续下降了距离 x2时速 度为零,求 x2与 x1的比。 解解 第 1 阶段:系统由静止运动 x1距离。由动能定理 2 21121121)23(21)()2(vmmxgmgmxgmgm+=+ 即 2 2111)23(21vmmgxm+= (1) 第 2 阶段 :系统通过搁板继续运动 x2距离后静止。由动能定理 2 2122122)2(210)(vmmxgmgmgxm+=+ 即 2 2121)2(21vmmgxm+= (2) 由式(1) 、式(2)得 212112 232 mmmm xx += 13-11 均质连杆AB质量为4 kg, 长l = 600 mm。 均质圆盘质量为6 kg, 半径r = 100 mm。 弹簧刚度系数为 k = 2 N/mm,不计套筒 A 及弹簧的质量。如连杆在图 13-11a 所示位置被无 初速释放后,A 端沿光滑杆滑下,圆盘做纯滚动。求: (1)当 AB 达水平位置而接触弹簧时, 圆盘与连杆的角速度; (2)弹簧的最大压缩量。 gABmABgBmBA(a) (b) 图 13-11 解解 (1)杆 AB 处于水平位置时 0 , 0=BBv,B 为杆 AB 的瞬心。 图 1

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