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理论力学课后习题详解-第10章-动量定理

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  • 卖家[上传人]:杨****
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  • 上传时间:2018-03-27
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    • 1、 147第 11 章 动量定理 第 11 章 动量定理 11-1 汽车以 36 km/h 的速度在平直道上行驶。设车轮在制动后立即停止转动。问车轮 对地面的动滑动摩擦因数f应为多大方能使汽车在制动后 6 s 停止。 解解 将汽车作为质点进行研究,制动后汽车受重力 W,地面约束反力 FN和与运动方向 相反的摩擦阻力 F 作用,以汽车运动方向为轴 Ox,如图。根据动量定理在轴 x 的投影式, 有 xOxxImvmv= 其中 m/s 10km/h 36, 0=Oxxvv fWttfFFtIx=N当 t = 6 s 时,有 s6m/s100=fWgW, f=0.17 11-2 跳伞者质量为 60 kg,自停留在高空中的直升飞机中跳出,落下 100 m 后,将降 落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计,伞重不计,开伞后所受的阻力不变,经 5 s 后跳 伞者的速度减为 4.3 m/s。求阻力的大小。 解解 取跳伞者为研究对象,开伞前,他受重力 mg 作用,竖直下落,令跳 伞者自由下落 100 m 后速度为 v1,则 ()m/s 3 .44m/s 1008 . 9221=ghv 开伞后,他受重力 mg

      2、 和阻力 F 作用,如图 11-2 所示。取铅直轴 y 向下为正, 根据动量定理有 tFmgImvmvy)(12= 由题知:当 t=5 s 时,有 v2=4.3 m/s 即 5)8 . 960() 3 .443 . 4(60=F F = 1 068 N = 1.068 kN 11-3 如图 11-3a 所示浮动起重机举起质量 m1=2 000 kg 的重物。设起重机质量 m2=20 000 kg,杆长 OA=8 m;开始时杆与铅直位置成 60角,水的阻力和杆重均略去不计。当起 重杆 OA 转到与铅直位置成 30角时,求起重机的位移。 g1mxaxyyFg2mOA30Oayx g1mg2mOOA60F(a) (b) (c) 图 11-3 解解 取浮动起重机与重物为研究对象, 由于不受水平方向外力作用且系统原来静止, 故 其质心的水平坐标不变,取坐标系xyO,其中轴yO通过船体中心的初始位置。设起重机 位移为 x,船半宽为 a,由质心坐标公式得 (1)起重杆 OA 与铅直线成 60角时, (如图 11-3c 所示) )60sin8()60sin(211211 1+=+=ammm mmaAO

      3、mxC (2)起重杆 OA 与铅直线成 30角时(如图 11-3b 所示) NFvWxFm图 11-1 gmvyF图 11-2 148)30sin8()30sin(2112121 2+=+=ammmxmmxmAOaxmxC 因系统质心水平坐标守恒: 21CCxx= 所以 m266. 0m 202)21 23(28 )30sin60(sin8211=+ =+=mmmx 故起重机位置向左移动了 0.266 m。 11-4 如图 11-4a 所示水平面上放 1 均质三棱柱 A,在其斜面上又放 1 均质三棱柱 B。两 三棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱 A 的质量为 mA三棱柱 B 质量 mB的 3 倍,其尺寸 如图 11-4a 所示。设各处摩擦不计,初始时系统静止。求当三棱柱 B 沿三棱柱 A 滑下接触到 水平面时,三棱柱 A 移动的距离。 xbOdcBAgAmgBmax abd clgBm(a) (b) (c) 图 11-4 解解 取 A、B 两三棱柱组成 1 质点系为研究对象,把坐标轴 Ox 固连于水平面上,O 在 棱柱 A 左下角的初始位置。由于在水平方向无外力作用,且开始时系统处于

      4、静止,故系统 质心位置在水平方向守恒。设 A、B 两棱柱质心初始位置(如图 11-4b 所示)在 x 方向坐标 分别为 bdxacx32,321=当棱柱 B 接触水平面时,如图 11-4c 所示。两棱柱质心坐标分别为 31alclx=)3()(2baldbalx=+= 系统初始时质心坐标 )(32)32()3(BABABABACmmbmam mmbmam x+=+ = 棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标 )(3)3()(3)3()3(BABBABABABACmmbmmmalmm mmbalmalm x+=+ + = 因 CCxx= 并注意到 BAmm3= 149得 4bal= 11-5 平台车质量kg 5001=m,可沿水平轨道运动。平台车上站有 1 人,质量 kg 702=m,车与人以共同速度0v向右方运动。如人相对平台车以速度m/s 2r=v向左方跳出,不计平台车水平方向的阻力及摩擦,问平台车增加的速度为多少? 解解 以车与人为质点系进行研究,因为质点系在水平 方向不受外力作用,见图 11-5,故系统在水平方向动量守 恒。以水平方向向右为 x 轴正向,人跳出时平台车速度为 v,则水

      5、平方向动量守恒式为: )()(r21021vvmvmvmm+=+ 代入数据解得 246. 00+= vv m/s 246. 00=vvv 11-6 如图 11-6a 所示,均质杆 AB,长 l,直立在光滑的水平面上。求它从铅直位置无 初速地倒下时,端点 A 相对图 11-6b 所示坐标系的轨迹。 ABBAxyNFCWC(a) (b) 图 11-6 解解 取均质杆 AB 为研究对象,建立图 11-6b 所示坐标系Oxy,原点 O 与杆 AB 运动初始时的点 B 重合,因为杆只受铅垂方向的重力 W 和地面约束反力NF作用,且系统开始时静止,所以杆 AB 的质心沿轴 x 坐标恒为零,即 0=Cx。 设任意时刻杆 AB 与水平 x 轴夹角为,则点 A 坐标 sin ,cos2lylx= 从点 A 坐标中消去角度,得点 A 轨迹方程 2224lyx=+(椭圆) 11-7 如图 11-7a 所示椭圆规尺 AB 的质量为 2m1,曲柄 OC 的质量为 m1,而滑块 A 和 B 的质量均为 m2。已知:OC=AC=CB=l;曲柄和尺的质心分别在其中点上;曲柄绕轴 O 转 动的角速度为常数。当开始时,曲

      6、柄水平向右,求此时质点系的动量。 解解 将质点系统分为 2 部分,第 1 部分为尺 AB 和滑块 A、B,由于对称其质心在点 C, 第 2 部分为曲柄 OC,其质心在 OC 的中点 C1上,根据质点系的动量计算式,有 1121)22(CCmmmvvp+= (1) 因为 vC和 vC1均垂直于曲柄 OC,故动量 p 也垂直于 OC。将 lvvCC=12 代入式(1),得 图 11-5 150)45(221mmlp+=(方向如图 11-7b 所示) O tB1CvCvp1CAC(a) (b) 图 11-7 11-8 质量为 m1的平台 AB,放于水平面上,平台与水平面间的动滑动摩擦因数为 f。质量为 m2的小车 D,由绞车拖动,相对于平台的运动规律为2 21bts =,其中 b 为已知常数。不计绞车的质量,求平台的加速度。 BAS Dg2mg1mrvNFvyx(a) (b) 图 11-8 解解 受力和运动分析如图 11-8b 所示 rrearraaaaaD+=+=ABbsabtsv & & &(1) ABDaaa=ra(2) FamaamABAB=1r2)( (3) gmmfF)(21+=

      7、 (4) 式(1) 、 (4)代入式(3) ,得 fgbmmm mmbmmmfgammfgammbmgmmfamabmABABABAB+=+=+=+=21221221212122112)()()()()(11-9 求题 11-4 中三棱柱 A 运动的加速度及地面对三棱柱的约束力。 NFraBgBmgBm3eaAaBgBmraBNFea(a) (b) (c) 图 11-9 解解 (1)水平方向外力为零,设 A 的加速度为 aA,由图 11-9b 所示 reaaaB+= 1510)cos(33,ree =+=aamammmBABBAAaa即 cos4rBABamam=,cos4rAaa= (1) (2)块 B 受力和加速度分析如图 c。 ar方向: )cos(sinerBBaamgm= 式(1)代入上式,即 coscos4sinAaagA= 2 Acos4cossinaAag= (2) 22sin3cossin cos4cossin +=ggaA (3) (3) 图 11-9b 所示,NF方向向上 sin3rBNBBamFgmgm=+ (4) 式(3)代入式(1) ,得 2A rcos4s

      8、in4 cos4 =gaa 上式代入式(4)得 2B 2B22BBNsin312 sin334cos4sin44+=+=gmgmgmgmF 11-10 如图 11-10a 所示,质量为 m 的滑块 A,可以在水平光滑槽中运动,具有刚性系 数为 k 的弹簧 1 端与滑块相连接,另 1 端固定。杆 AB 长度为 l,质量忽略不计,A 端与滑 块 A 铰接,B 端装有质量 m1,在铅直平面内可绕点 A 旋转。设在力偶 M 作用下转动角速度 为常数。求滑块 A 的运动微分方程。 xBMAgmNFg1mO kx(a) (b) 图 11-10 解解 取滑块 A 和小球 B 组成的系统为研究对象,建立向右坐标 x,原点取在运动开始时 滑块 A 的质心上,则质心之 x 坐标为)(t= tlmmmxxmmtlxmmxxCCsin)sin(21111+=+=& & &系统质心运动定理: kxxmmC=+& & )(1xmmktlmmmx1211sin+=+& & 即 tlmmmxmmkxsin2111+=+& & 此即滑块 A 的运动微分方程。 152讨论:设0, 0, 0=xxt&,则由上述方程得滑块 A 的稳态运动规律(特解) tmmklmxpsin)(2 12 1 += 原题力矩 M 只起保证=常数的作用,实际上 M 是随变化的。 11-11 在图 11-11a 所示曲柄滑杆机构中曲柄以等角速度绕轴 O 转动。开始时,曲柄 OA 水平向右。已知:曲柄的质量为 m1,滑块 A 的质量为 m2,滑杆的质量为 m3,曲柄的质心在 OA 的中点,lOA =;滑杆的质心在点 C,而2lBC =。求: (1)机构质量中心的运动方程; (2)作用点 O 的最大水平力。 xyg1mg2mg3mNFAD yOFxOFO(a) (b) 图 11-11 解解 (1)整个系统为研究对象,建立图示直角坐标Oxy。求得系统的质心坐标 tlmmmmm mmmtlmtlm ytlmmmmmm mmmlmmmmltlmtlmtlm xCCsin)(22sinsin2co

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