理论力学课后习题详解-第11章-动量矩定理
18页1、 156A 第 12 章 动量矩定理 第 12 章 动量矩定理 12-1 质量为 m 的点在平面 Oxy 内运动,其运动方程为 tbytax 2sincos =式中 a,b 和为常量。求质点对原点 O 的动量矩。 解解 由运动方程对时间的 1 阶导数得原点的速度 tbtyvtatxvyx2cos2ddsindd=(1) 质点对点 O 的动量矩为 tatbmtbtamxmvymvmMmMLyxOO cos2cos22sin)sin()()(0 +=+=+=yxvvtmab3cos2= 用矢量表示有 () ()()kjijivrLxymyxmymxmyxmO&=+= 其中yx&,由式(1)确定。 12-2 无重杆 OA 以角速度0绕轴 O 转动,质量 m = 25 kg,半径 R = 200 mm 的均质圆盘以 3 种方式安装于杆 OA 的点 A,如图 12-12a 所示。在图 12-12a 中,圆盘与杆 OA 焊 接在一起,在图 12-12b 中,圆盘与杆 OA 在点 A 铰接,且相对杆 OA 以角速度r逆时针向转动。 在图 12-12c 中, 圆盘相对杆 OA 以角速度r顺时针向转动。
2、 已知rad/s 4r=O,计算在此 3 种情况下,圆盘对轴 O 的动量矩。 rR2AvO0RArR2AvO0(b1) (c1) 图 12-2 解解 (1) 在图 12-2a 中,轮 A 绕 O 定轴转动 222 29)2(21mRRmmRJO=+= /skgm 182922=mRJLOOOO (2)在图 12-2b1 中,轮 A 作平面运动 aO2AAJRvmL+= /skgm 205)(212222 OrO2 O=+=mRmRRRm 157(3)在图 12-2c1 中,轮 A 绕 O 作圆周曲线平移 a22AOOJRRmL+= ()kgm/s 16kgm/s 2542 . 044022ra =mRLOOO 12-3 如图 12-3 所示,质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为 A,质 心为 C,AC = e;轮子半径为 R,对轴心 A 的转动惯量为 JA;C,A,B 三点在同 1 铅直线上。 (1)当轮子只滚不滑时,若 vA已知,求轮子的动量和对地面上点 B 的动量矩。 (2)当轮子 又滚又滑时,若 vA 、已知,求轮子的动量和对地面上点 B 的动量矩。 解解 (1)
3、当轮子只滚不滑时,轮上点 B 为速度瞬心。 轮子角速度 RvA= 质心 C 的速度 )(eRRvCBvA C+= 轮子的动量 ACmvReRmvp+=() 对点 B 动量矩 =BBJL 222)( )( eRmmeJeRmJJACB+=+= RveRmmeJLA AB22)( += (2)当轮子又滚又滑时由基点法求得点 C 速度。 evvvvACAAC+=+= 轮子动量 )(evmmvpAC+= () 对点 B 动量矩 ) ( )()()( )( 2emRJeRmvmeJeRevmJBCmvLAAAACCB +=+=+=12-4 1 半径为 R,质量为 m1的均质圆盘,可绕通过其中心 O 的铅垂轴无摩擦地旋转,如图 12-4a 所示。1 质量为 m2的人在盘上由点 B 按规律2 21ats =沿半径为 r 的圆周行走。开始时,圆盘和人静止。求圆盘的角速度和角加速度。 RB rvO(a) (b) 图 12-4 解解 以人和圆盘为质点系,由于作用于系统的外力(重力和轴 O 的约束力)对轴 O 的 矩均为零,所以人和圆盘组成的系统对轴 O 的动量矩守恒。设人在盘上绕轴 O 顺时针走圆 周,则
4、盘必逆时针转,圆盘对轴 O 的动量矩为 =22 1 1RmJL 图 12-3 158人随圆盘转的牵连速度和人对圆盘的相对速度都沿圆周切向。 以反时针转为正向, 牵连速度 的投影为 r,相对速度的投影为 ats= &人对地面的绝对速度的投影为 atrsrv=&0其方向与 r 垂直,所以人对轴 O 的动量矩为 ratrmL=)(22 由质点系动量矩守恒定律有 ratrmRm+=)(2022 1 2 2122 22 rmmRartm += 2 2122 22 rmmRarm +=& 12-5 如图 12-5a 所示水平圆板可绕轴 z 转动。在圆板上有 1 质点 M 作圆周运动,已知 其速度的大小为常量,等于 v0,质点 M 的质量为 m,圆的半径为 r,圆心到 z 轴的距离为 l, 点 M 在圆板的位置由角确定,如图 12-5a 所示。如圆板的转动惯量为 J,并且当点 M 离 轴 z 最远在点 M0时,圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计,求圆板的角速度 与角的关系。 1oxyevrO0vl(a) (b) 图 12-5 解解 以圆板和质点 M 为系统,因为系统所受外力(包括重力和约束
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