高考数学（理）一轮通关课件：函数模型及其应用

1、 考 纲 展 示 第九节 函数模型及其应用 1 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2 了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 ) 的广泛应用 由于受到新课标中概率模块的冲击，实际应用题被概率问题占据了位置，逐步退出命题的热点，但以二次函数为模型的应用题还是常出现在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数 闯关一：了解考情，熟悉命题角度 高频考点全通关 一次函数、二次函数模型 【 考情分析 】 【 命题角度 】 【 答案 】 20 闯关二：典题针对讲解 一次函数或二次函数模型的建立及最值问题 例 1 ( 2 0 1 3 陕西高考 ) 在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园 ( 阴影部分 ), 则其边长 x 为 _ _ _ _ _ _ _ _ m .【解析】 设内接矩形另一

2、边长为 y ，则由相似三角形性质可得0 得 y 40 x ，所以面积 S x (4 0 x ) x 2 40 x ( x 2 0 ) 2 4 0 0 (0 x 4 0 )，当 x 20 时， S m a x 4 0 0 一次函数、二次函数模型 闯关二：典题针对讲解 以分段函数的形式考查一次函数和二次函数 例 2 (201 1 湖北高考 ) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下 ， 大桥上的车流速度 v ( 单位 ： 千米 /时 ) 是车流密度 x ( 单位 ： 辆 /千米 ) 的函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 ；当车流密度不超过 20 辆 /千米时 ， 车流速度为 60 千米 /时 研究表明 ： 当 20 x 200 时 ， 车流速度 x 的一次函数 当 0 x 200 时，求函数 v ( x ) 的表达式； 当车流密度 x 为多大时 ， 车流量 ( 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 ， 单位 ：辆 /时 ) f ( x ) x v ( x ) 可以达到最大，并求出最大值 ( 精确到 1 辆 /时 )解： 由题

3、意，当 0 x 20 时， v ( x ) 60 ；当 20 x 200 时，设 v ( x ) b ，再由已知得200 a b 0 ，20 a b 60 ，解得a 13，b v ( x )的表达式为 v ( x )60 ， 0 x 20 ，13200 x ， 20 x 200. 依题意并由 (1) 可得 f ( x ) 60 x ， 0 x 20 ，13x 200 x ， 20 x x 20 时 ， f ( x )为增函数 ，故当 x 20 时，其最大值为 60 20 1 200 ；当 20 x 200 时， f ( x ) 13x (200 x )13x 200 0 0003， 当且仅当 x 200 x ， 即 x 100 时 ， 等号成立 所以当 x 100 时 ， f ( x )在区间 20, 200 上取得最大值10 当 x 100 时 ， f ( x )在区间 0,2 00上取得最大值10 0003 3 333 ，即当车流密度为 100 辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆 /时高频考点全通关 函数零点的应用 闯关二：典题针对讲解 以分段函数的形式考

4、查一次函数和二次函数 依题意并由 (1) 可得 f ( x ) 60 x ， 0 x 20 ，13x 200 x ， 20 x x 20 时， f ( x ) 为增函数，故当 x 20 时，其最大值为 60 20 1 200 ；当 20 x 200 时， f ( x ) 13x (200 x ) 13x 200 0 0003，当且仅当 x 200 x ，即 x 100 时，等号成立所以当 x 100 时， f ( x ) 在区间 20, 200 上取得最大值10 x 100 时， f ( x ) 在区间 0,2 00 上取得最大值10 0003 3 333 ，即当车流密度为 100 辆 /千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333 辆 /时高频考点全通关 一次函数、二次函数模型 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型解决此类问题应注意三点： 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密 切注意函数的定义域，否则极易出错； 确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； 解决函数应用问题时，最后要还原到实际

5、问题 (2)以分段函数的形式考查解决此类问题应关注以下三点： 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几 个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分 段函数模型求解； 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； 分段函数的最值是各段的最大 (或最小 )者的最大者 (最小者 ) 闯关三：总结问题类型，掌握解题策略 高频考点全通关 一次函数、二次函数模型 闯关四：及时演练，强化提升解题技能 1. (2 0 1 3 上海高考 ) 甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种产品( 生产条件要求 1 x 1 0 ) ，每一小时可获得的利润是 1 0 05 x 1 3x 元(1 )求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 1 0 0 a 5 1x3x 2 元；(2 )要使生产 9 0 0 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润解 ： (1 )证明：生产 a 千克该产品所用的时间是 每一小时可获得的利润是 1 0 05 x 1 3x 元， 获得的利润为 1 0 05 x 1 3x 此生产 a 千克该产品所获得的利润为 1

6、 0 0 1x3频考点全通关 一次函数、二次函数模型 闯关四：及时演练，强化提升解题技能 (2 )生产 9 0 0 千克该产品获得的利润为 90 0 0 0 5 1x3 x 1 0 .设 f ( x ) 3x 5 , 1 x 1 0 .则 f ( x ) 31x162112 5 ，当且仅当 x 6 取得最大值故获得最大利润为 90 0 0 0 6112 4 5 7 5 0 0 元因此甲厂应以 6 千克 /小时的速度生产，可获得最大利润 4 5 7 5 0 0 元高频考点全通关 一次函数、二次函数模型 闯关四：及时演练，强化提升解题技能 2. 据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v ( h) 与时间 t (h) 的函数图象如图所示，过线段 一点 T ( t, 0) 作横轴的垂线 l，梯形 O A B C 在直线 l 左侧部分的面积即为 t (h)内沙尘暴所经过的路程 s ( (1) 当 t 4 时，求 s 的值；(2) 将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3) 若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 试判断这场沙尘暴是否

7、会侵袭到 果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由解： (1 ) 由图象可知：当 t 4 时， v 3 4 12 ， s 12 4 12 24.(2 ) 当 0 t 10 时， s 12 t 3 t32 10 t 20 时， s 12 10 30 30( t 10) 30 t 150 ；当 20 t 3 5 时 ， s 12 10 30 10 30 ( t 20) 30 12 ( t 20) 2( t 20) 70 t 5 5 0 知 s 32t 0 ， 1 0 ，30 t 150 ， t 10 ， 20 ， 70 t 550 ， t 20 ， 3 5 一次函数、二次函数模型 闯关四：及时演练，强化提升解题技能 .( 3 )沙尘暴会侵袭到 N 城 t 0 , 1 0 时， s m a x 32 102 1 5 0 6 5 0 ，t ( 1 0 , 2 0 时， s m a x 30 20 150 4 5 0 6 5 0 ， 当 t ( 2 0 , 3 5 时，令 70 t 550 6 5 0 t 1 30 ， t 2 40. 20 t 35 ， t 30. 沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城点击此处可返回目录 高频考点全通关 一次函数、二次函数模型

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