椭圆知识讲解
5页1、椭圆【学习目标】1. 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程;2. 掌握椭圆的定义和标准方程;能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题;3. 掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质;4. 能用椭圆的简单性质求椭圆方程;能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.【要点梳理】要点一:椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数( ),这个动点P1F2 2121FaPF的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.P要点诠释:若 ,则动点 的轨迹为线段 ;121F12若 ,则动点 的轨迹无图形.PP要点二:椭圆的标准方程椭圆的标准方程:1. 当焦点在 轴上时,椭圆的标准方程: ,其中 ;x 12byax)0(a22bac2. 当焦点在 轴上时,椭圆的标准方程: ,其中 ;y2xy)( 22c要点诠释:1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2. 在椭圆的两种标准方程中,都有 和 ;0ab22bac3. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时,椭圆的焦点坐标为 , ;当焦点在 轴上时,x(,0)c,
2、)y椭圆的焦点坐标为 , ;(0,)c,)4. 在两种标准方程中,a 2b 2,可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.求椭圆的标准方程的主要方法:求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法:1. 待定系数法:若能够根据题目中条件确定焦点位置,可先设出标准方程,再由题设确定方程中的参数 a,b,即: “先定型,再定量”.由题目中条件不能确定焦点位置,一般需分类讨论;有时也可设其方程的一般式: .21(,0mn)mxny且2. 定义法:先分析题设条件,判断出动点的轨迹,然后根据椭圆的定义确定方程,即“先定型,再定量” 。利用该方法求标准方程时,要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.要点三:椭圆的简单几何性质我们根据椭圆 来研究椭圆的简单几何性质12byax)0(a椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|a,|y|b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程 ,把 x 换成x,或把 y 换成y,或把 x、y 同时换成x、y,方程21xyab都不变,所以椭圆 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称2图形,这个
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