第1章 时域离散随机信号的分析

1、15:44:45,1,2018年2月23日星期五,教材：丁玉美，数字信号处理时域离散随机 信号处理 ，西电出版社，2002自编讲义参考书：张贤达，现代信号处理，清华出版社，2002姚天任，现代数字信号处理，华中科大出版社，1999胡广书，现代信号处理教程，清华出版社，2004皇甫堪，现代数字信号处理，电子工业出版社，2003,现代数字信号处理,15:44:45,2,2018年2月23日星期五,学时分配：总学时：48第一章 时域离散随机信号的分析：6学时第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波： 8学时第三章 自适应数字滤波器： 8学时第四章 功率谱估计： 8学时 小波分析： 6学时 其它内容： 6学时基础：信号与系统，数字信号处理， 数理统计与随机过程。,15:44:45,3,2018年2月23日星期五,第一章 时域离散随机信号的分析,1.1 引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型,15:44:45,4,2018年2月23日星期五,1.1 引 言,1.1 引 言 信号有确定性信号和随机信号之分。 确定性信

2、号：信号幅度随时间变化有一定规律性， 可以用一个明确的数学关系描述，是可以再现的。,随机信号：随时间变化没有明确的规律，任何时间信号的大小不能预测， 不能用明确的数学关系进行描述。但存在着一定的统计规律，可以用概率密度函数、概率分布函数、数字特征描述。,15:44:45,5,2018年2月23日星期五,随机信号的有四种形式： (1) 连续随机信号： 时间变量和幅度均取连续值的随机信号。 (2) 时域离散随机信号(随机序列)：时间变量取离散值，幅度取连续值。 (3) 幅度离散随机信号：幅度取离散值，时间取连续值。(4) 离散随机序列(随机数字信号)：幅度和时间均取离散值。 ,1.1 引 言,15:44:45,6,2018年2月23日星期五,随机信号的计算机处理：计算机只能处理随机数字信号。如果忽略计算机有限字长效应，随机数字信号近似为随机序列。因此，我们针对时域离散随机信号(随机序列)展开讨论。符号说明： X(t)连续随机信号 xi(t) X(t)的第i个样本函数 X(n)随机序列或随机变量 xi(n) X(n)的第i个样本函数说明：为简单起见，常用小写字母x(n)或xn表示随机序列,

3、只要概念清楚，容易分清楚。,1.1 引 言,15:44:45,7,2018年2月23日星期五,随机序列举例：n部接收机输出噪声的时域离散化,1.1 引 言,15:44:45,8,2018年2月23日星期五,1.2 时域离散随机信号的统计描述,1.2 时域离散随机信号的统计描述1.2.1 随机序列的概率描述1. 概率一维分布函数随机变量Xn的概率分布函数：,(1.2.1),2. 概率一维密度函数,(1.2.2),15:44:45,9,2018年2月23日星期五,对于随机序列，不同n的随机变量之间并不是独立的，为了更加完整地描述随机序列， 需要用二维及多维统计特性。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,(1.2.3),(1.2.4),说明：由于实际中无法得到概率分布函数， 数字特征比较容易进行测量和计算, 因此也可以用数字特征描述随机序列。 常用的数字特征有数学期望、 方差和相关函数。,15:44:45,10,2018年2月23日星期五,1.2.2 随机序列的数字特征1. 数学期望(统计平均值),(1.2.7),说明：E表示求统计平均值。一般情况：数学期望是n的函数。平稳随机序列：数学期望

4、是常数，与n无关。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,11,2018年2月23日星期五,2. 均方值与方差,(1.2.8),方差定义,(1.2.9),可以证明:,(1.2.10),1.2 时域离散随机信号的统计描述,均方值定义,一般情况：均方值和方差都是n的函数, 平稳随机序列：均方值和方差与n无关, 是常数。,15:44:45,12,2018年2月23日星期五,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,13,2018年2月23日星期五,15:44:45,14,2018年2月23日星期五,15:44:45,15,2018年2月23日星期五,物理意义：假设随机变量Xn代表电压或电流。 均方值消耗在1电阻上的总功率或统计平均功率 方差消耗在1电阻上交流功率。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,消耗在1电阻上直流功率。,显然，总功率直流功率+交流功率，因此有,15:44:45,16,2018年2月23日星期五,3. 随机序列的相关函数和协方差函数 相同或不同随机序列在不同时刻的状态之间，存在着关联性， 这种关联性可以用自相关函数和互相关函数进行描述。 自相关

5、函数定义,(1.2.11),1.2 时域离散随机信号的统计描述,*表示复数共轭,15:44:45,17,2018年2月23日星期五,自协方差函数定义,(1.2.12),容易证明,(1.2.13),特殊情况：mXn= mXm=0,自协方差函数=自相关函数,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,18,2018年2月23日星期五,互相关函数的定义,互协方差函数定义,特殊情况：mXn=mYm =0,cov(Xn, Ym)=rxy(n, m),1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,19,2018年2月23日星期五,1.2.3 平稳随机序列及其数字特征平稳随机序列：N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。又称为狭义(严)平稳随机序列。,(1.2.16),广义(宽)平稳随机序列：均值和均方差不随时间而改变，相关函数仅是时间差的函数。说明：严平稳序列一定是广义平稳的，反之不一定成立,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,20,2018年2月23日星期五,我们重点研究广义平稳随机序列，简称平稳随机序列。 一维复平稳序列数字特征：,(1.2

6、.17),(1.2.18),(1.2.19),二维复平稳序列数字特征：,(1.2.20),(1.2.21),1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,21,2018年2月23日星期五,两个平稳且联合平稳复序列的数字特征：,(1.2.22),复平稳序列的两个重要性质:,(1.2.23),(1.2.24),两随机序列相互正交：对于所有m ，rxy(m)=0两随机序列互不相关：对于所有m， rxy(m)=mxmy, covxy (m)=0,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,22,2018年2月23日星期五,实平稳序列相关函数与协方差函数性质： (1) 自相关函数是m 的偶函数,(1.2.25),(1.2.26),(1.2.27),(2) rxx(0)数值上等于随机序列的平均功率,1.2 时域离散随机信号的统计描述,互协方差函数,15:44:45,23,2018年2月23日星期五,(3),(4),(1.2.29),(1.2.30),含义：平稳序列内部相关性随着时间差的变大， 愈来愈弱。,(5),(1.2.31),(1.2.28),1.2 时域离散随机信号的统计描

7、述,15:44:45,24,2018年2月23日星期五,随机序列自相关函数、协方差函数的重要性质可以用下图所示曲线来表征。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,25,2018年2月23日星期五,1.2.4 平稳随机序列的功率密度谱(PSD:Power Spetral Density)平稳随机序列：非周期函数，能量无限，傅里叶变换不存在。自相关函数及其Z变换：由性质(4)知当mx=0, rxx(m)是收敛序列，Z变换存在，而且维纳欣钦定理保证自相关函数的Z变换就是平稳序列的功率谱。,(1.2.32),反变换,(1.2.33),1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,26,2018年2月23日星期五,Pxx(z)的收敛域：,(1.2.34),如果z1是其极点，1/z*1也是极点。如果z1在单位圆内， 必须在单位圆外，收敛域一定包含单位圆，即：,0Ra1,互相关函数及其Z变换：,(1.2.35),由于,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,27,2018年2月23日星期五,由于Pxx(z)的收敛域包含单位圆意味着rxx(m)的傅里叶变换存在。令

8、z=exp(j) 有,(1.2.37),(1.2.38),将m=0代入上式：,(1.2.39),1.2 时域离散随机信号的统计描述,上式含义： rxx(0)等于随机序列的平均功率， 为功率谱,15:44:45,28,2018年2月23日星期五,实平稳随机序列功率谱的性质：(1) 功率谱是的偶函数,(1.2.40),这一结果可由自相关函数的偶函数证明。还可以证明,(1.2.41),(1.2.42),1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,29,2018年2月23日星期五,(2) 功率谱是实的非负函数：Pxx()0 该性质的证明见下节。,互功率谱定义与性质：,(1.2.43),(1.2.44),(1.2.45),1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,30,2018年2月23日星期五,1.2.5 随机序列的各态历经性集合平均或统计平均：求大量样本在同一时刻的平均, 实际中无法实现。时间平均：仅对一条样本在时间上求平均，实际中容易实现。时间平均值的计算：,(1.2.46),时间自相关函数的计算：,(1.2.47),1.2 时域离散随机信号的统计描述,式中，表示时间

9、平均算子。,15:44:45,31,2018年2月23日星期五,平稳序列的各态历经性：如果平稳随机序列满足下面两式，称其具有各态历经性：,=mx=E X(n),=rxx(m)=EX*(n)X(n+m),(1.2.48),(1.2.49),各态历经性实际意义：用时间平均代替集合平均， 这给研究平稳随机序列带来很大的方便。而且实际中遇到的平稳随机序列，一般都是各态历经性的。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,32,2018年2月23日星期五,1.2.6 特定的随机序列 1. 正态(高斯)随机序列正态随机序列x(n)的N维联合概率密度函数：,其中,特点：正态随机序列仅决定于均值矢量M和协方差矩阵varX。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,33,2018年2月23日星期五,高斯马尔可夫过程：具有指数型自相关函数的平稳高斯过程。例如：,高斯马尔可夫的特点：是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m时， 自相关函数趋近于0，所以均值为0，过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。,1.2 时域离散随机信号的统计描述,15:44:45,34,2018年2月23日星期五,2. 白噪声序列平稳白噪声序列的定义：,(1) 两两不相关 cov(xn, xm)=2mn,(1.2.54),(2) 功率谱为常数 Pxx(ej)=2=常数,正态(高斯)白噪声序列：白噪声序列服从正态分布。注意：正态和白色是两个不同的概念，前者是指信号取值服从正态分布， 后者指信号不同时刻取值的独立性。,

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